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1、对一道高考题的解法探究及教学思考嘉善高级中学杨月荣2014年的高考已经落下帷幕，2014年浙江省高考数学试卷的“浙江特色”依I日明显，试题延续了叙述简洁、题意清晰、稳中冇新的一贯风格，不少试题流光溢彩、夺人眼球。其中，理科第17题（文科第10题）最为赏心悦冃，让我们看到了浙江省高考数学中沉寂多年的数学应用题别具一格的新面貌。题目：如图1,某人在垂直于水平地面的墙面前的点4处进行射击训练。已知点4到墙面的距离为AB,某目标点户沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角&的大小
2、。若AB=15mfAC=25m,Z.BCM=30°则tan0的最大值为o1.解法探究当点P从点C运动到P时（肓线肚丄平而4BP），角&逐渐增人，tan^也在增人。所以木题只需探讨当点P运动到在射线PM上时的变化。如图2,过点P作PD丄于点D,可知ZPAD为仰角&。A解法1：设PC=m(m>,则P£)=y,BD=写和_20,mta宀竺二1-J3“占宀20城?+6252•竺—也+丄9V42K2m4当且仅当加二旦3时，伽&有最大值上返。694解法2：设上=乙ACD=0,ZPCA=/，贝ljcos^=-,5cos了
3、=cos0.cos30°故在△PAC匚P，由正弦定理可知PA=5后sin(a+/)比二25sinasin(a+/)PD丄25sm",・・・sin〃=££=M=sina,即当ZPAC=90°时，tan/9有最人值墮。2sin(dz+/)PA2J139解法3：由解法2可知，当仰角&最大时正好是二面角P-AC-B的平面角，可见仰角&的大小与点A在射线C4上的位置是无关的。所以，可先确定点P的位置（如P）,把问题看作是点A在射线CA上运动,要使得仰角&最人，则线段最短即可，故tan0的最人值为如3.2=竺。3609
4、解法4：如图3,建立空间•肓角坐标系B-xyz，设点P的坐标为（0-73^+20^）,则有乔=(-15,20-V3z,z),即有sin&='=〔，・••当乙=旦丄时，仰角&最大,』4乙2-40侖乙+62562540^312冇sin"缶，即3必最M晋。CJ疗一丁本题中的点P在射线CM上运动时，始终不变的是ZPC4。将其投影到平面ABC±,则点Q在射线CB上运动，始终不变的是ZACB,即线段的长度不变。若设BD=AD=x,则有F_y?=225o解法5：由BD=y得PD=¥(y+20),即tan0=、'3；+20
5、)令tan^=^(y+20)=/c,贝ljy=y[3kx-20,代入jt2-y2=225得(3/:2-l)x2-40>/3^+6253x△=2500-2700疋A0,i^^<—,即AD=x=—lit,tan。有最人值童。J949/图4解法6：由解法4可知当△=0时，即是直线/:y=^3kx-20与曲线C:x2-y2=225相切吋，伽0有最大值。如图4,当直线y=^kx-20与曲线C相切时，肓•线/的斜率k最大，即伽&有最人值半。解法7：Vx2-y2=225,川令兀=15seca,y=15tancr,・*.t
6、an0=3x9巧()+20)_2^E(3sina+4cosa)=~^^sin(Q+倂)(怕叩=专),显然，当0+炉=壬时，tan0有最大值1.教学思考本题以应用题的形式出现，考查动态变换，立意新颖，手法独特，是一道解法多样的难度较大的试题。笔者对此题进行了多视角、多方位的探究，并由此引发了对数学解题教学的儿点思考。2.1解题目标由“问题解决”向“追根溯源”转变2010年11月的浙江省教育厅教研室主办了“新课程背景下高屮数学教师教学能力评比与观摩活动”,其中的“说题”掀起了不小的浪潮，将问题的背景作为“说题”
7、的笫一环节。问题的背景即时対试题进行追根溯源，寻找分析问题的切入口和解决问题的支撑点。如解法1中设PC=m,解法2中设ZPAC=a,一方面是因为PC和ZPAC的变化最贴近问题的实际背景，另一方面是因为我们的思维有着所依托的“土壤”——《浙江省普通高屮作业木•数学(必修5)》第11页的第11题"如图4,某人在塔OM的正东方向4处沿着南偏西60°的方向前进4(加至C处后，测得塔在他的东北方向。若沿途测塔顶M的仰角，最人仰角为60°,求塔高。”显然当人离原点最近时，仰角最大，即此时仰角为二血角M-AC-。的平面角
8、。所以，解法2中设ZPAC=a,是为了更好地反映出这一问题背景，也自然冇了解法3。乂因为降维法是立体几何屮的最基木的数学方法，因此将问题的研究投影到平ABC上，从而转化为平面儿何的问题來处理也是水到渠成的。这样寻找打开思维的源头，讣问题的分析有据叮依，既关注了数学基础夯实，有突岀了分析问题能力的提升。2.2解题过程由“纵向训练”向“横向铺开”转变当下，高中数学教学模式依然是“题型整理+反复操练”，具体表现在围绕同
