关于一道高考题的三种解法及思考

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1、关于一道高考题的三种解法及思考　　2008年江苏物理高考题第14题：在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图1所示.已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g.求：(1)小球运动到任意位置P(x，y)的速率v.(2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym.(3)当在上述磁场中加一竖直向上场强为E(E>mgq)的匀强电场时，小球从O点静止释放后获得的最大速率vm.　　　　解法一高考参考答案：　　　　(1)洛伦兹力不做功，由动能定理得　　　　mgy=12mv2(1)　　　　得v=2gy(2)　　

2、　　(2)设在最大距离ym处的速率为vm，根据圆周运动有　　　　qvmB-mg=mv2mR(3)　　9　　　　且由(2)知vm=2gym(4)　　　　由(3)、(4)及R=2ym得ym=2m2gq2B2(5)　　　　(3)小球运动如图2所示，　　　　由动能定理　　　　(qE-mg)

3、ym

4、=12mv2m(6)　　　　由圆周运动　　　　qvmB+mg-qE=mv2mR(7)　　　　且由(6)、(7)及R=2

5、ym

6、解得　　　　vm=2qB(qE-mg).　　9　　命题特点首先，本题是针对习惯思维的逆向选择(平时我们研究的粒子，一般都是不计重力，而本题选择的是带电小球

7、，重力不能忽略)；其次，本题题干以及第(1)问的情景不是很陌生，但是第(2)问利用曲率半径、把向心力的关系作为一条解决问题的渠道，这是比较新颖的；再有，第(3)问，引入电场是对原题很好的一个变式.　　　　解题困难“曲率半径”这个概念对考生来说比较陌生.高中物理教材中并没有出现过有关“曲率半径”的内容，而笔者询问了本校几位数学教师，回答也都是“没有讲过”.只是有这样的情况，有些教师在讲解“卫星变轨”问题时，作为拓展，会讲一讲“曲率半径”的问题，而且也要看学生的程度，若是一般的普通高中，老师基本上是不会讲的.考试中不少学生正是由于不知“曲率半径”是何物而无法求解.　　

8、　　当然，命题者也许并非默认考生都是知道“曲率半径”这个概念的，而是要求学生综合题中各种信息，从圆周运动中的“半径”概念迁移到本题中的“曲率半径”来，如果是这样，那对学生的知识迁移能力是很高的要求.　　　　另外，仔细阅读此题，“已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍”这个条件是在仅有磁场和重力场的情境下给出的，那么对于第(3)问中进一步引入电场的变式，这个条件是否仍然成立，要进行类比才能确定，难度也是很大的.　　　　当然，作为试题的研究，我们可以不把“曲率半径”当作“华山一条道”，仍然能够通过其它方法求解.下面介绍两种解法，均不需要用到题中9“曲率半径

9、”的条件.　　　　　　解法二第(1)问略.　　　　设小球在运动过程中第一次下降的最大距离对应的位置为点Q，如图3所示.　　　　对切点Q有yQ=ym,(vy)Q=0(1)　　　　洛伦兹力不做功，由动能定理　　　　mgym=12m(vx)2q(2)　　　　取运动轨迹上某一点P，小球位于P时，它所受到的x方向的力是　　　　Fx=qvyB,　　　　这个力提供了小球在x方向的加速度，　　　　qvyB=max(3)　　9　　注意到(3)式对小球运动过程中各个时刻都是成立的，它可以写成　　　　qBΔyiΔti=mΔ(vx)iΔti,　　　　亦即qBΔyi=mΔ(vx)i(4)　

10、　　　把小球从O点到Q点运动过程中所有小段的关系式全部加起来有　　　　∑i(qBΔyi)=∑i［mΔ(vx)i］(5)　　　　由于∑iyi=yQ-yO=ym,　　　　∑iΔ(vx)=(vx)Q-(vx)O=(vx)Q,　　　　代入(5)式得qBym=m(vx)Q(6)　　　　联立(2)、(6)式得ym=2m2gq2B2且(vx)Q=2mgqB.　　　　由动能定理知，(vx)Q=2mgqB即是小球静止释放后获得的最大速率vm，对于第(3)问，只要利用等效替代的方法，令“等效场”为mg效=qE-mg，马上就可以求得结果，其最大速率为　　9　　vm=2mg效qB=2(q

11、E-mg)qB.　　　　解法三第(1)问略.　　　　按题意，小球由静止释放，即初速度为零.设想此时小球具有如图4所示的x方向的速度+v0和-v0，使+v0这个速度引起的洛伦兹力正好与小球所受的重力相平衡，即v0的大小满足qv0B=mg，或写成v0=mgqB，这个值是恒定的.　　　　　　照此设想，小球在其后的运动过程中将受到三个力，一个是沿y轴正方向的重力，一个是由于小球沿x轴向右运动而产生的y轴负方向的洛伦兹力(图4中已画出)，另一个是小球向左运动产生的y轴正方向的洛伦兹力(图4中未画出).这第三个力所相应的加速度引起小球速度的改变，它和原来小球向左运动的速度的合

12、成正是一种