一道高考题的解法与探讨

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1、一道高考题的解法与探讨【摘要】2011年高考已落下帷幕，但对精彩的考题的研究和认识还在继续，文章针对2011年陕西省高考理科数学卷第14题进行讨论。　　【关键词】高考题解法最短距离　　【】G633【】A【】1674－4810（2011）21－0143－01　　　　［考题再现］植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（）米。　　分析：此题中说到要将树苗集中放置在某个树坑旁边，笔者两种想法：（1）将树苗集中放在某个树坑所在位置；（2）将树苗放在离树坑较

2、近位置而非树坑所在位置。　　方法一：将树苗集中放在第一棵树树坑所在位置，得出总路程s1＝10×（1＋2＋…＋19）×2＝3800，依次做下去，由对称性，我们只用算到第10棵树所在位置即可，再比较其距离的大小，最后得出最小距离为2000米。　　方法二：以第一棵树所在位置为原点建立数轴，则每棵树所在位置可与数轴上实数对应，且任意一棵树的坐标为xi＝10i－10，假设将树苗放置在坐标为xm处，所得结果符合题意。此时任意一位同学需要走的路程为si＝2

3、xi－xm

4、，所有同学要　　走的总路程为，由绝对值的意义求其最小值，即求的最小值。　　易得当时，S最小为2000。　　即树苗集中放置在10或11树坑旁边

5、，所有同学所走路程总和最小。　　方法三：运用拉格朗日数乘法。　　设放在a处可满足题意，a距第1棵树的距离为x，前面　　每位同学所走的总路程为，a距第20棵树的距离为　　y，后面每位同学所走的总路程为且满足y＋x＝190，　　则总距离为S＝y（y＋1）＋x（x＋1）。　　拉格朗日数函数为：L＝y（y＋1）＋x（x＋1）＋λ（y＋x－190）。　　，解得x＝y＝95时S最小。　　方法四：运用Matlab求解。　　借用方法三的关系式f＝x1（x1＋1）＋x2（x2＋1），将其导入Matlab中：　　步骤（1）：在function函数脚本中输入；　　y＝f（x）　　f＝x1（x1＋1）＋x2（x2＋1

6、）　　步骤（2）：在editor中输入[xy]=fmincon(‘f’,[00],[],[],[11],190,[11],[190190])　　运行即可得到x1＝95，x2＝95，y＝2000。　　［问题推广］若将题目中“20个人，每棵树间距离10米”，改为N个人，每棵树间距离为b，其他条件不变，那么将树苗放在何处时，满足题意呢？　　将方法二一般化：以第一棵树为坐标原点建立数轴，任　　意一棵树的位置为xi＝bi－b，最小距离。　　时距离最短。　　由于有N个人，每棵树之间的总距离为（N－1）b，故放在中点处距离最小。　　由上述我们获得解决此类问题的方法，只需直接将中点代入，即可得出最短距离，再难

7、的题目也变得简单了。　　［结束语］此类问题我们只要将其最深层的条件找出来，然后适当地建立数学模型，找出熟悉的数学关系式再进行求解，问题就变得简单了。