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1、一道高考题的思考本文由hnlwyzljg163贡献doc文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。一道高考题的思考1题目（2010陕西理20）如图，椭圆C：为F1、F2，A1B1=x2y2+=1的顶点为A1、A2、B1、B2，焦点a2b27，SA1B1A2B2=2SB1F1B2F2.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A、B两点的直线，OP=1.是否存在上述直线l使AP?PB=1成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.思考1可以说，圆锥
2、曲线的综合问题是每一年高考的必考题，也是高三师生高考备考的重中之重。本题第一问属于已知圆锥曲线的几何量之间的关系，求标准方程的问题，第二问属于直线与圆锥曲线的位置关系及存在性问题的探索性问题。此类问题在新课及复习课的课堂教学以及摸拟考试中应为较常规题型，学生解答理应容易入手，应能在此题上得到一定的分数。据统计，本题的难度为0.34.2基本解法解法一：假设探索法解法一（Ⅰ）由A1B1=7，知a2+b2=1，a=2c①②③把某菱形的面积公式代入SA1B1A2B2=2SB1F1B2F2，有又b2=a2?c222由①，②，③解得a=4，b=
3、3，故椭圆C的方程为x2y2+=1.43（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)，(x2,y2)，假设使AP?PB=1成立的直线l存在，（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且OP=1得m1+k2=1,即m2=k2+1.∵AP?PB=1，OP=1，∴OA?OB=(OP+PA)?(OP+PB)=OP+OP?PB+PA?OP+PA?PB=1+0+0-1=0，即x1x2+y1y2=0.将y=kx+m代入椭圆方程，得由根与系数的关系可得x1+x2=2(3+4k2)x2+8kmx+(4m2?12)=0，
4、8km3+4k2④4m2?12x1x2=3+4k20=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2⑤将④，⑤代入上式并化简得(1+k2)(4m2?12)?8k2m2+m2(3+4k2)=0，⑥2将m=k+1代入并化简得?5(k+1)=0，矛盾.22即此时直线不存在.（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足OP=1的直线l的方程为x=1或x=?1，当x=1时，A，B，P的坐标分别为(1,)，(2,?)，(1,0)，∴AP=(0,?)，PB=(0,?)，3232329∴AP?PB=≠1.
5、432当x=?1时，同理可得AP?PB≠1，矛盾.综上可知，使AP?PB=1成立的直线l不存在.思考2本题考察了椭圆的概念，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质，直线与圆锥曲线的位置关系，点到直线的距离，直线的倾斜角、斜率，两直线的夹角（垂直），直线方程，以及向量的模，向量的数量积等知识点。求解既考查运算求解能力又考查推理论证能力。重视考查代数抽象推理能力。题目涉及函数与方程的数学思想、数形结合的数学思想、分类与整合的数学思想、化归与转化的数学思想，综合运用了待定系数法、代入法、消元法、反证法。解法二：第（Ⅱ）问。设A、B两点的坐标分别为
6、(x1,y1)，(x2,y2)，解法二（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且OP=1得m1+k2=1,即m2=k2+1.(3+4k2)x2+8kmx+(4m2?12)=0，将y=kx+m代入椭圆方程，得由根与系数的关系可得x1+x2=8km3+4k2x1x2=4m2?123+4k2有OA?OB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m24m2?12?8km=(1+k)?+km?+m2223+4k3+4k2=5(1+k2)，3+4k2
7、2又OA?OB=(OP+PA)?(OP+PB)=OP+OP?PB+PA?OP+PA?PB=1+0+0-PA?PB，5(1+k2)得PA?PB=1-OA?OB=1+>1.3+4k2所以，不存在上述直线l使AP?PB=1.（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足OP=1的直线l的方程为x=1或x=?1，当x=1时，A，B，P的坐标分别为(1,)，(2,?)，(1,0)，∴AP=(0,?)，PB=(0,?)，3232329∴AP?PB=>1.432当x=?1时，同理可得AP?PB>1.综上可知，使AP?PB=1成立的直线l不存在.思考3第（Ⅱ）问是探
8、索性问题，把解法一中的探索性叙述稍作变化，可得上述解法二。但对于“不存在”我们有必要反思其本质。由以上解法不难看出：当OA⊥OB时，可推出7m2=12(1+k2)，从而有OP=m1+k2=12≠1而题目设置的条件AP?PB=1恰好7x
