探究与拓展一道经典数学高考题

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1、教学2015年7月新颖试题参谋探究与拓展一道经典数学高考题⑩安徽省浮山中学吴约中(2)选择函数模型，则Y=一问题由来、-10eosO"eosO-(20-lOsinO)(-sinO)——：二COS20cosz0‘题目(2008~高考数学江DP4-／=0,得sin1苏卷17题)如图1，某地有三家工，因为0<<号，所以a=詈．厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处．AB：A曰当∈(0’詈)时，y<0，是的减函数；当∈(詈，詈)20km，BC=1Okra．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)且与A、等距的一点0处，建造一

2、时，>0，y是的增函数，所以当詈时，‰n：10十10、／了．个污水处理厂，并铺设三条排污管道A0，BO，PO．记铺设这时点Pf立于线黜B的中垂线上，在矩形区域内且距离管道的总长度为ykm．(1)按下列要求建立函数关系式：．①设O=O(rad)，将Y表示成0的函数；②设OP=x(km)，将Y表示成的函数．二、问题探究(2)请你选用(1)中的一个函数关系确定污水处理上述的点0与三角形中的费马点有何关联呢?厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．1．背景再现评析：该题为情境创设开放题，考生首先要将语言(1)费马点定义：在一个多边形中，到每个顶点距离文字的

3、理解等价化归为函数模型(变量的范围)，主考函之和最小的点叫做这个多边形的费马点．数的概念、解三角形、导数中函数最值的应用等基础知识，考查考生的数学建模能力、抽象概括能力和解决实(2)如果三角形有一个内角大于或等于120~,这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于120~,则在三角际问题的能力；特别是第(2)问，涉及污水处理厂科学选址、有效“节能”和排污管道长度最优化问题的探究．形内部对三边张角均为120。的点，就是三角形的费马点．解：(1)①连接PD并延长交AB于点Q，由条件知(3)如何作一个三角形的费马点?作法：①作一三内角均小于垂直平分AB

4、，若D：(rad)，~lJOA：Q_：0_，故cosOcosO120o的Z~ABC．②分别以AB，AC为D一边，向外侧作正AABD与△ACE．OB：．又DP：10—10tan0，所以y=OA+DB+OP=—一+cosOcosO③连接CD、BE，交于点P，则P点即0_10一lOtanO为所求，如图2．．cosO(4)如何求一个三角形的费马故所求函数关系式为y：20-10sinO+10(0≤≤寻1．点?FCOSU、叶当一个三角形的最大角小于图2(若OP=(km)，贝ⅡOQ=10一，所以OA=OB=120。时，以每一个边向外侧作等边三角形，连接该等边、／

5、(10)2+102=、／2_2眦+20O．三角形的顶点和该边的对角顶点，三条连线的交点蹴故所求函数关系式为抖2、(0≤≤lO)．是费马点．高中版中‘?毒《=-?■■——■教参新颖试题2015年7月因为AQ+CQ~Ac，BQ+DQ>~BD，则点J1)为最佳位置图6I奎l7探究拓展二：如果不计较结点的个数，有没有更短的线路?如图8，在AAPD、ABPC中分别作出费马点E、F(费马点定义可证三角形任意两边之和大于费马点到三顶点距离之和)．南AP+PD>AE+PE+DE，PB+PC>BF+CF+PF，得AC+D>AE+PE+DE+BF+CF+PF．又E、P

6、、F三点共线，所以AE+DE+日F}CnEF<4C+D，即图8的连接方法是最短的．评注：“公路系统总长”的优化问题，可以归结为如“亭子道路的布局设计”、“地铁运输线的设计”等．这些可以展现数学文化的外在美、和谐关等．探究拓展三：费马点是否适合于竞赛中的代数问题?BG(同上)，则BBb，，y，z满足条件MB=AM+BM+CM．十旷一。cy=，2所以费马点到三个顶点A、B、c的距离最短．一船=b，求+y的值评注：△ABC的费马点位置是通过图形旋转，由极l产—=+6，端原理得到的．将三边距离之和转化为同一直

7、线上两点解析：这道代数问题似乎与费之间线段最短的应用．因此该道高考试题将考题和费马马点没有直接关系，若根据方程组B，，点有机联结，变矩形为三角形构建对应的数学模型，使的特点，构造一个特殊三角形来’、’’问题解决更加贴近考生最近发展区．从而达到触类旁通解．由于等式右端为、b2．a2+b，因‘、、的效果．aABP中的点D最合适的位置是满足AO=BO且此构造一个RtAABC，两条直角边’／_AOB=120。，此时同样可求得点()在AB的垂直平分线分别为AB=a，AC=b，A：90。．并在图9RtAABC内找一点0，连接OA、OB、OC，使得它们之间的上．

8、且点0到AB的距离为0_／一km．夹角为120。(如图9)．设，OB=y，OC=z．由余弦定理知32．题源探究拓展，y，，