对一道数学高考题的剖析与思考

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1、发表于浙师大《中学教研》(数学)2007年第8期对一道数学高考题的剖析与思考卢明海盐元济高级中学3143002007年浙江理科数学第21题：已知数列中的相邻两项，是关于的方程的两个根，且．（Ⅰ）求，，，；（Ⅱ）求数列的前项和；（Ⅲ）记（），，求证：．本题总共只有55个字，其中汉字32个，可谓叙述简洁明了，不拖泥带水．题目的大条件是以学生十分熟悉的一元二次方程的根为背景给出的，显得平和而贴切．试题一共设置了三问，设问角度新颖，梯度明显，体现了浅入深出、简约而不简单的命题风格．本题所包含的主要数学知识有：一元二次方程、数列的通项

2、与前n项和、函数的周期性、不等式等；所涉及的数学思想有：分类讨论、归纳与猜想等；考查的主要数学技能有：数学运算、逻辑推理．本题在函数、方程、数列以及不等式知识的交汇点处命题，体现了较高的综合性，数学内涵丰富，能力要求高．更可贵的是本题对任何一位考生来说，考查背景十分公平．本题的亮点是：全题纵贯了对数学“基本思想”——演绎与归纳的考查．如：在第一问中，要求考生根据这一信息，通过分类讨论和演绎推理，计算出，，，的值．在第二问中，要求考生在正确理解意义的基础上，通过对和式中前7项的奇数项与偶数项的分类重组，得到一个等差数列和一个等

3、比数列，然后再分别求他们前n项的和得出的值．在第三问中，首先要求考生利用枚举法，归纳出是一个周期函数，且其函数值只有1和2两个值，从而断定的值为；其次是让考生通过猜想与推演，分析出数据和-3-的来历，进而确定用演绎的方法来证明成立的策略——不等式的放缩．值得探讨的是：在第三问中，由于，，．所以，和式中各项的符号不是正负相间的，规律比较难找，故在证明时对作不等式放缩的技巧要求显得比较高，方法单一，多数考生即使能预测到要用到不等式的放缩来证，也一时难以找到有效的放缩技巧，影响了区分度．如果能对第三问再作适当的改进，或许效果会更好

4、一些．但总体而言，“第21题”构思精巧，形式新颖，对学生智慧与能力的检测，远远高于对知识点本身的考查，这对今后中学数学教学应该教什么，怎么教，起到了积极的导向作用．1、要注重数学“基本思想”和“基本活动经验”中学的数学教学只注重基础知识、基本技能（简称“双基”）是不够的，还必须加上“基本思想”和“基本活动经验”．所谓“基本思想”，主要是指演绎与归纳，这应当成为整个数学教学的主线，它是高于那些针对具体问题的数学思想——函数与方程、分类讨论、等价转换、数形结合等的更上位的思想．所谓“基本活动经验”，主要是指学生在数学活动中亲身经

5、历并逐步积累起来的解决数学问题的经验．新课程强调要培养学生的创新意识和创新能力，而创新能力依赖于三个方面：知识的掌握、思维的训练、经验的积累，三个方面同等重要．数学作为一门思维训练的学科，主要训练学生的两个能力——演绎能力和归纳能力．应该看到，现在的教育本质上是一种知识的教育，考察的是该教的内容是否教了，教了的知识是否掌握了．这样的教育是不全面的．教育应当以生为本，不仅要考虑学生知识的掌握，还要考虑身心的发展、思维的发展和能力的提升．2、培养学生“智慧”比教学生“知识”更重要“第21题”如果单凭数学知识是无法解决的，它更需要

6、的是智慧．因为知识本质上只是一种结果，可能是一种经验的结果，也可能是一种思考的结果．而智慧并不表现在这两种结果之上，而是表现在经验和思考的过程之中，如对问题的处理、对困难的化解以及对实质的思考．由此可见，智慧是融知识、经验和思维为一体的，是人们实现创新的心理机制．新课标之所以倡导三维教学目标，正是考虑到了智慧形成的基本规律，即知识是可以传递的，而智慧是无法传递的，智慧的形成并不完全依赖于知识的多少，而是依赖于知识的运用、依赖于个人的经验．一个人的智慧的发展，需要到实际操作中去感悟、去积累、去反思．因此，要培养学生“智慧”，务

7、必重视学生的“做中学”，正如富兰克林所说，听到的我会忘记，看到的我会记住，参与的我能理解并会运用．3、要大胆地去掉一些形式化的东西，适度淡化技巧训练-3-数学教学过分强调形式化不利于学生思考，如把一些思考的过程编成“口诀”或“顺口溜”让学生去记忆，这种方法会把数学搞歪掉，就会走向“八股”．还应该明确技巧不等于技能，现在我们的教学中反复训练的是技巧而不是技能．技巧是对一个具体例子或很窄的范围才适用的方法，而技能是可以迁移的，可以举一反三．过多地训练技巧，会增加学生记忆的负担，对学生智慧的发展没多大益处．熟能生“巧”走过了头会熟

8、能生“笨”．是否可以这样理解，“第21题”给我们传递了这样一个信息，假如中学数学教学中能在继续保持传统的“双基教学”这个核心的同时，再添进数学的“基本思想”和“基本活动经验”，那么就会改善我们的教学中重“演绎推理”轻“归纳推理”这种顾此失彼的局面，进而使数学的学科价值得到更好的体现．参考文