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1、∀试题赏析∀(2010年第10期∀高中版)41对一道高考题的几点思考246400安徽省太湖中学李昭平246309安徽省潜山野寨中学汪和平题目(2010年安徽理20)设数列a1,a2,,an,1111an+1-a1n=(-)=∀=.中的每一项都不为0.证明:{an}为等差数列的充分必要da1an+1da1an+1a1an+1111研究规律是处理数列问题的重要思想方法之一,规条件是:对任何nN+,都有+++=a1a2a2a3anan+1律的表达方式以公式居多.充分性的证明反映等差数列n.概念的又一种公式表达,但考生需要明确本题证明的思a1an
2、+1维落点:用通项公式或定义递推公式是表达等差数列常思考1源于课本,注重创新用的形式,因此充分性可以从以下三个角度去寻找证明本题考查等差数列的概念、性质、数列的递推转化、思路.拆项相消求和法的运用、充要条件、推理与证明、数学归分析1设出等差数列通项公式,用数学归纳法证纳法、分类讨论思想的运用等等.在交汇处命题,具有知之.必要性的证明给我们的启示是,如果数列是等差数识点多、覆盖面广、综合性强的特点.本题题面亲切,它111n源于人教A版教材必修5习题2.3B组第4题:列,则有+++=成立.结合数列a1a2a2a3anan+1a1an+11数列的前n项和与数学归纳法的联系
3、,以及数学归纳法的假设性设出等n(n+1)差数列通项公式,可考虑运用数学归纳法证明充分性:11111Sn=+++++,1!22!33!44!5n!(n+1)设所述的等式对一切nN+都成立.令n=2,得等式研究一下,能否找到求Sn的一个公式,你能对这个112+=,两端同乘a1a2a3,即得a1+a3=2a2,所问题作一些推广吗?尽管本题以课本习题为背景,但突a1a2a2a3a1a3破了对等差数列认识的思维视角,将问题推广到了一般以a1,a2,a3成等差数列,记公差为d,则a2=a1+d.化,提升了解决问题的规律.充分性是大多数考生备考假设ak=a1+(k-1)d,当n=k
4、+1时,由两个等式复习的盲点,要解决好充分性的证明需要考生对数列思1+1++1=k-1a1a2a2a3ak-1aka1ak想方法的准确把握与运用,因此本题是一道源于课本、1111k注重创新的好题.和++++=,a1a2a2a3ak-1akakak+1a1ak+1思考2多种思路,体验探究k-11k得+=.要证充要条件,必须分充分性和必要性两部分证a1akakak+1a1ak+1明.由于必要性主要利用考生熟悉的裂项相消求和法.在该式两端同乘a1akak+1,得(k-1)ak+1+a1=kak.在运用裂项公式1=1∀an+1-an时,未知量公差d将ak=a1+(k-1)d
5、代入其中,整理后,得ak+1=a1+anan+1danan+1kd.由数学归纳法原理知,对一切nN+,都有an=a1+在分母中,此时需要d#0,要注意对d的分类讨论.(n-1)d,所以{an}是公差为d的等差数列.必要性的证明:设数列{a}的公差为d,若d=0,则n分析2用函数观点求出通项公式.由于数列可以所述等式显然成立.若d#0,则看作是正整数n的函数,因此对于上述含有a1,a2,,111aa+aa++aa111n1223nn+1an-1,an,an+1的递推式+++=,a1a2a2a3anan+1a1an+11a2-a1a3-a2an+1-an=(+++)
6、常常可以在递推式中取n为另一些字母(如n-1,n+1,da1a2a2a3anan+11111111n-2等等),通过对两个式子进行整体相减得到相邻项=[(-)+(-)++(-)]da1a2a2a3anan+1(或其他项)之间的某种关系,使问题获解.证明如下42(2010年第10期∀高中版)∀试题赏析∀111n假设2a2=a1+a3,就直接说数列{an}为等差数列,是考若对任何nN+,都有+++=,a1a2a2a3anan+1a1an+1生容易失误的地方;若运用函数观点证明充分性,则应111n-1则当n∃2时,+++=.anaaaaaaaa构造新的数
7、列,难度不小;若运用递推关系式证1223n-1n1nn-11nn-1两式相减,得=-,即a1=nan-(n-1)an+1.明充分性,在得到a1=(n+1)an+1-nan+2,消去a1的必anan+1a1an+1a1an要性及实施方法也是一个思维难点.在多种思路中,让两边同时除以n(n-1)得学生体验探究的过程,凸现学生的综合能力.an+1ana111-=-=-a1(-),于是思考3类比联想,获得新知nn-1n(n-1)n-1nananan-1an-1an-2a3a2a2联想1数列{an}的前n项和为Sn,证明:数列=(-
