一道向量高考题的探究和延伸

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1、一道向量高考题的探究和延伸摘要：向量具冇几何和代数双重性，与几何和代数关系密切，它在立体儿何、三角、数列等各种知识模块中都可能出现，是连接众多知识的桥梁，利用它可以有效解决很多问题•但向量题又较灵活，学生因此在高考中失分严重•作者通过2013年安徽理9的探究和延伸，给出了求解向量的常用方法和技巧，揭开了向量神秘的面纱，提高学生对向量的认知和信心.关键词：向量高考题探究延伸随着新课程的不断深入和推进，越來越多的省市加入到自主命题的行列，有关高考试题的信息越来越丰富•如何才能在有限的时间内更有效地开展复习工作，提高复习课

2、的教学效率，应付更加复朵多变的命题方向？只有让学生更扎实地掌握基木技能和基础方法，提高数学思维的素养，才能应对复杂多变的高考试题•从讲题到探题，力图通过课堂教学方式的改变，提高课堂教学效率，提高学生分析问题、解决问题的能力.平面向量是数学中的重要概念和工具，利用它可以有效地解决很多问题.向量具冇几何和代数双重性，与几何和代数关系密切•平面向量作为数学知识网络的一个交汇点，它在立体几何、三角、数列等各种知识模块中都可能出现，是连接众多知识的桥梁，向量的引入大大拓宽了解题的思路与方法，使它在研究其他许多问题时获得广泛应用

3、，笔者通过一道向量高考题的探究和延伸，揭示向量的内在本质，提高学生对向量的认知和信心.向量的解法从人方向讲有两种，即代数法和儿何法，因此此题可以尝试从这两个方向解题.法一（代数法）：通过建立直角坐标系可得到0,A,B点的坐标，再根据坐标运算可求出点P的横坐标x和纵坐标y,联立方程组解出入和卩，再去绝对值得到四个二元一次不等式组，画出平面区域可求面积.法三（几何法）：首先考虑入>0,口>0的情况•因为入+UW1,结合基本定理几何意义可知点P的轨迹是三角形A0B及其内部，再讨论莫他情况,即可画出点P的轨迹为一矩形，矩形面

4、积就是点集所表示的区域的面积.法四（特殊值法）：这是一道选择题，当一道题解不出来的时候，可以考虑利用选题题的解题技巧，即临界值法•先考虑丨入1+5

5、二1的情况.学生对入+—1很熟悉，知道此时点P在线段AB上，再通过对称性很容易画岀点P的边界图形，可以算出该区域所表示的面积.这道向量题涉及了向量求解最常用的几种方法，给我们解向量题提供了思路和方向•数学的学习木身也是一个探究的过程，如果我们对条件进行改变又能得到什么结论呢？变式1：若把“丨入1+1P

6、W1”改为“入+口二1“则点P轨迹的形状怎样呢？变式2：若把“

7、入

8、+

9、

10、p

11、W1”改为“OUW1”,则点P轨迹的形状怎样呢？解析：此题方法也很多，不管利用代数几何方法都可以解.法一：最大值一般在特殊的位置取到，因此可以考虑点P在A,B,圆弧AB中点时入+u的值就可得到答案.法三：把法二设点P(x,y)改为设点P(2cosO,2sinO),把入+卩用9表示，结合三角即可求出最大值.法五：利用几何意义，结合正弦定理也可得到入，□的等式关系，从而求出最大值.平面向量已经渗透到中学数学的许多方面，向量法是一种值得学生花费时间、精力掌握的方法，学好向量知识有助于理解和掌握与之有关联的学科•向量在

12、高考中灵活多变，题型新颖，但我们只要在平时的学习中多探究、挖掘，掌握处理问题常用方法，抓住问题的本质，就定能在处理向量问题时做到事半功倍.