一道数学高考题的推广

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1、莆蚆肂肆蒈蕿羈肅薁螅袄肄芀薇螀肄莃螃肈膃蒅薆羄膂薇螁袀膁芇薄袆膀葿衿螂腿薁蚂肁膈芁袈羇膈莃蚁袃膇蒆袆蝿芆薈虿肈芅芈蒂羄芄莀蚇羀芃薂蒀袅节节螅螁节莄薈肀芁蒇螄羆芀蕿薇袂荿芈螂螈莈莁薅肇莇蒃螀肃莆蚅薃罿莆莅衿袅羂蒇蚁螁羁薀袇聿羀艿蚀羅肀莂袅袁聿蒄蚈螇肈薆蒁膆肇莆蚆肂肆蒈蕿羈肅薁螅袄肄芀薇螀肄莃螃肈膃蒅薆羄膂薇螁袀膁芇薄袆膀葿衿螂腿薁蚂肁膈芁袈羇膈莃蚁袃膇蒆袆蝿芆薈虿肈芅芈蒂羄芄莀蚇羀芃薂蒀袅节节螅螁节莄薈肀芁蒇螄羆芀蕿薇袂荿芈螂螈莈莁薅肇莇蒃螀肃莆蚅薃罿莆莅衿袅羂蒇蚁螁羁薀袇聿羀艿蚀羅肀莂袅袁聿蒄蚈螇肈薆蒁膆肇莆蚆肂肆蒈蕿羈肅薁螅袄肄芀薇螀肄莃螃肈膃蒅薆羄膂薇螁袀膁芇薄袆膀葿衿螂腿

2、薁蚂肁膈芁袈羇膈莃蚁袃膇蒆袆蝿芆薈虿肈芅芈蒂羄芄莀蚇羀芃薂蒀袅节节螅螁节莄薈肀芁蒇螄羆芀蕿薇袂荿芈螂螈莈莁薅肇莇蒃螀肃莆蚅薃罿莆莅衿袅羂蒇蚁螁羁薀袇聿羀艿蚀羅肀莂袅袁聿蒄蚈螇肈薆蒁膆肇莆蚆肂肆蒈蕿羈肅薁螅袄肄芀薇螀肄莃螃肈膃蒅薆羄膂薇螁袀膁芇薄袆膀葿衿螂一道数学高考题的推广123132213231321312徐志平（浙江金华一中321000）2005年全国高考数学卷（上海·理）中第12题如下：用n个不同的实数a1，a2，···，an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个n!行的数阵。对第i行ai1，ai2，···，ain。记bi=-ai1+2ai2-3ai3+···+(-

3、1)nnain，i=1，2，3，···，n!。用1,2,3可作数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都是12,所以,b1+b2+···+b6=-12+212-312=-24，那么,在用1,2,3,4,5形成的数阵中,b1+b2+···+b120=．解析：由题意知，显然当n=1时，a11=1,b1=-a11=-1;1221当n=2时，可得2!=2个不同的排列,即组成一个2!行2列的数阵如下：∴b1+b2=-1（1+2）+2（1+2）=3当n=3时，题中已求。当n=4时，可得4!=24个不同的排列,即组成一个4!行4列的数阵如右，∴b1+b2+b3+b4=-1（1·3！+2·3！+3

4、·3！+4·3！）+2（1·3！+2·3！+3·3！+4·3！）-3（1·3！+2·3！+3·3！+4·3！）+4（1·3！+2·3！+3·3！+4·3！）=（-1+2-3+4）（1·3！+2·3！+3·3！+4·3！）=120当n=5时，可得5!=120个不同的排列,即组成一个5!行5列的数阵，b1+b2+b3+b4+b5=-1（1·4！+2·4！+3·4！+4·4！+5·4！）+2（1·4！+2·4！+3·4！+4·4！+5·4！）-3（1·4！+2·4！+3·4！+4·4！+5·4！）+4（1·4！+2·4！+3·4！+4·4！+5·4！）-5（1·4！+2·4！+3·4

5、！+4·4！+5·4！）=（-1+2-3+4-5）（1·4！+2·4！+3·4！+4·4！+5·4！）。问题1：该题可以推广出一般结论吗？如用1，2，3，······，n形成的数列中，求的值。根据以上不完全归纳思想，作如下探究：（1）当n为偶数时，得到一个n!行n列的数阵如下：3其中，注意到第j列中的n!项分别为：，且，其中与相同的项恰有项，所以项=，∴∴==（2）当n为奇数时，同理得到==从该题的推广分析过程可知，如何求所得数阵各列之和以及为何各列之和相等是关键，至于bi中的各项系数还可以加以改造与推广。3问题2：若将此题中，记，则求的值。分析：由问题1的探究过程知：=问题3

6、：若将此题中，记，则求的值。分析：由问题1的探究过程知：=还可以不断地进行改造······通过该道高考题的推广及探索过程，对培养学生的探究能力，牢固树立学生的分类讨论思想、排列与组合思想以及数列求和思想都大有裨益，也对今后学习高等数学中的矩阵问题打下埋伏，是一道难得的好题。薂羄肅蒄薁蚄芀莀薀螆肃芆蕿袈艿膂虿羁肂蒀蚈蚀袄莆蚇袃肀莂蚆羅羃芈蚅蚅膈膄蚄螇羁蒃蚃衿膆荿螃羁罿芅螂蚁膅膁螁螃羈葿螀羆膃蒅蝿肈肆莁螈螈芁芇莅袀肄膃莄羂芀蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袇肁膀蒁聿袃蕿蒀蝿腿蒄葿袁羂莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膆蒁薅袇羈莇薅羀膄芃薄蝿羇艿薃袂节膅薂羄肅蒄薁蚄芀莀薀螆肃芆蕿袈艿膂虿羁肂蒀蚈蚀袄莆蚇袃肀

7、莂蚆羅羃芈蚅蚅膈膄蚄螇羁蒃蚃衿膆荿螃羁罿芅螂蚁膅膁螁螃羈葿螀羆膃蒅蝿肈肆莁螈螈芁芇莅袀肄膃莄羂芀蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袇肁膀蒁聿袃蕿蒀蝿腿蒄葿袁羂莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膆蒁薅袇羈莇薅羀膄芃薄蝿羇艿薃袂节膅薂羄肅蒄薁蚄芀莀薀螆肃芆蕿袈艿膂虿羁肂蒀蚈蚀袄莆蚇袃肀莂蚆羅羃芈蚅蚅膈膄蚄螇羁蒃蚃衿膆荿螃羁罿芅螂蚁膅膁螁螃羈葿螀羆膃蒅蝿肈肆莁螈螈芁芇莅袀肄膃莄羂芀蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袇肁膀蒁聿袃蕿蒀蝿腿蒄葿袁羂莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膆蒁薅袇羈莇薅羀膄芃薄蝿羇艿薃袂节膅薂羄肅蒄薁蚄芀莀薀螆肃芆蕿袈艿膂虿羁肂