一道高考题的数学研究.doc

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1、一道高考题的数学研究题目：(2010年广东卷理20)已知双曲线的左、右顶点分别为，，点，是双曲线上不同的两个动点. (Ⅰ)求直线与交点的轨迹的方程; (Ⅱ)若过点的两条直线和与轨迹都只有一个交点，且，求的值.本文只讨论问题(Ⅰ)1．不同解法研究    一个数学问题可以从多种角度去思考，并且都能得到最终想要的结果。那么这个问题就是一个好问题。上述题目问题(Ⅰ)就是这样一个问题，下面给出几个不同思考角度的几种解法： 解法1：由题设知，，，则有 直线的方程为，……① 直线的方程为……②联立①②解得交点坐标为，，即，，……③ 则，.又由点在双曲线上，.         

2、                                 将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为，且. 解法2：由题设知，，，则有 直线的方程为，……① 直线的方程为.……② 设点是与的交点，由①②得.……③ 又点在双曲线上，因此，即.代入③式整理得. 因为点，是双曲线上的不同两点，所以它们与点，均不重合.故点和均不在轨迹上.过点及的直线的方程为. 解方程组得，.所以直线与双曲线只有唯一交点.故轨迹不经过点.同理轨迹也不经过点. 综上分析，轨迹的方程为，且. 解法3：由题设知，，，设， 因为点在上，点在上，所以，.两式相加得，，即.又由得，，即.……① ，

3、 ，，……② 则，.而点在双曲线上，.     将①②代入上式，整理得所求轨迹的方程为，且. 解法4：设点是直线与的交点，因为、、三点共线，所以 ，……①因为、、三点共线，所以，……② ①②得．……③ 又点在双曲线上，因此，即．代入③式整理得.因为点是双曲线上的不同两点，所以它们与点，均不重合．故点与均不在轨迹上．过点及的直线的方程为． 解方程组得．所以直线与双曲线只有唯一交点． 故轨迹不经过点．同理轨迹也不经过点． 综上分析，轨迹的方程为，且．从上述的解答过程可看到，由双曲线的顶点出发，分别引出两条动直线与，探究两条动直线交点的轨迹，恰是与已知双曲线在结构上对

4、称的椭圆。这样的题目与所求结果只差一个符号：“”变成“”。 2、改造题目上述方程由“”变成“”可以，由“”变成“”也可以，如下：命题1：已知椭圆的左、右顶点分别为，，点，是椭圆上不同的两个动点.则直线与交点的轨迹的方程为：()。 证明：以上4种解法都可以证明之，这里只给出解法1的证明过程：由题设知，，，则有直线的方程为，……① 直线的方程为.……② 联立①②解得交点坐标为，，即，，……③ 则.又由点在椭圆上，.将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为(). 双曲线与椭圆这两个方程通过两直线的轨迹问题相互之间转换，再推广更一般的双曲线与椭圆也通过上述的两直线轨迹问题的

5、相互转换得： 命题2：已知双曲线(或椭圆)的左、右顶点分别为，，点，是双曲线(或椭圆)上不同的两个动点.则直线与交点的轨迹的方程为椭圆，且(或双曲线，)。 证明：命题2的证明也都可以用上面的4种解法来解决，证明过程是类似的，限于篇幅，这里就不详述了。    3．数学对称 由题目的左、右顶点分别为，知，和是关于轴对称的，而由点，的坐标知，和是关于轴对称的。若把这两个对称关系改变一下，即，和是关于轴对称，和是关于轴对称，又会出现什么样的结果呢？ 命题3：已知双曲线(或椭圆)的上、下顶点分别为，，点，是双曲线(或椭圆)上不同的两个动点.则直线与交点的轨迹的方程为椭圆，

6、且(或双曲线，)。 证明：(先证由双曲线变成椭圆) 由题设知，，则有直线的方程为……① 直线的方程为……② 联立①②解得交点坐标为，，即，，……③ 则且.又由点在双曲线上，.将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为，且。 (再证由椭圆变成双曲线) 由题设知，，则有直线的方程为……① 直线的方程为……② 联立①②解得交点坐标为，，即，，……③ 则.又由点在椭圆上，.将③代入上式，整理得所求轨迹的方程为，。证完。 从命题3可看到，题目中条件的对称性可以互换，而得到的结果是把双曲线变成椭圆，或椭圆变成双曲线，在结构上都有对称之美。以上是在解题过程中，发现了2010年高考中

7、的这道解析几何题的数学之美。这种数学美，即使是在紧张的应试过程中，也能发现其中的美妙规律，也会获得美的感受。因此，像这种蕴含丰富的数学美的题目，应该要多出现在各大考试之中，让更多的人去欣赏数学之美，让更多的人去喜欢数学，让考试成为一种赏美的乐事。