一道解析几何高考试题的简解及推广

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1、一道解析几何高考试题的简解及推广广东仲元中学严运华2018年全国高考数学I卷理科第19题为:设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.一解法探究（1）由已经得，将代入椭圆方程，得，即，所以直线的斜率为，因此其方程为或.探究第2问:分析1：∠OMA=∠OMB等价于直线和的斜率互为相反数，即.证法1：∠OMA=∠OMB等价于.，因为，所以，因此∠OMA=∠OMB.分析2：∠OMA=∠OMB等价于点到直线和的距离相等.证法2：直线为，即，故到直线的距离为，

2、同理，到直线的距离等于.∠OMA=∠OMB……①……②当时，②式显然成立；当时，②式等价于这显然是成立的，因此∠OMA=∠OMB.分析3：从向量的角度，利用夹角公式来证明.证法3：……③这就是①式，下同证法2.分析4：利用角平分线定理，这就是③式，下同证法3.分析5：由于，.证法5：下面证明，等价于证明这就是①式，由证法1知，.又因为，，所以，成立，因此.证法1到证法5，用解析几何的方法，从不同的视角来证明了.其核心思想就是分析几何关系，然后把几何关系转化为代数关系，利用解析几何证明.解法6:发现点为准线与轴的交点,由

3、于涉及到椭圆的焦点和准线，故考虑椭圆的第二定义，利用平面几何知识来证.由椭圆的第二定义，，即，又，所以，故，所以，所以，因此.类似的2018年全国高考数学I卷文科第20题为:设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．（1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）证明：．也有上述解法.不仅有多种解法，还可以将结论推广定理1设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．则直线与与轴成等角；证明：显然，直线不与轴重合，设直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，，设直线和直线的斜率分别为则而，，代入上式得将，代入上式得，故；发现两点的横坐标

4、之和为零，可以得出以下一般结论：定理2设抛物线，点，，过点的直线与交于，两点．则直线与与轴成等角；证明：显然，直线不与轴重合，设直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，，设直线和直线的斜率分别为则而，，代入上式得将，代入上式得，故；定理3过椭圆的右焦点的直线与交于两点，点.其中为的焦半距，设坐标原点，则直线与与轴成等角；证明：当直线与轴重合时，结论显然成立；当直线不与轴重合时，设直线的方程为，联立椭圆方程得，设，则，设直线和的斜率分别为，所以因此将，代入上式得故直线与与轴成等角；再探究发现：点和点的横坐标之积为，于是可

5、将命题3进一步拓展得到：定理4：设椭圆，过点的直线与交于两点，点.且，设为坐标原点，则直线与与轴成等角；证明：当直线与轴重合时，结论显然成立；当直线不与轴重合时，设直线的方程为，联立椭圆方程得，设，则，设直线和的斜率分别为，所以因此，由，得又，代入上式得故直线与与轴成等角；将椭圆的相关结论推广到双曲线有：定理5：设双曲线，过点的直线与交于两点，点.且，则直线与与轴成等角；定理6：设是圆锥曲线的一对“等角点”，过点的直线与交于两点,则直线与与轴成等角；若圆锥曲线为抛物线，则两“等角点”的坐标分别为，，其中，且。若圆锥曲线

6、为椭圆或双曲线，则两“等角点”的坐标分别为，，其中。显然，2018年的两道解析几何试题就是命题7的具体化。近年高考常以上述结论为背景命题。如2015年全国高考理科数学试题第20题在直角坐标系中，曲线与直线交于两点，（Ⅰ）当时，分别求在点和处的切线方程；（Ⅱ）轴上是否存在点，使得当k变动时，总有？说明理由。其中第2问，就是命题3的特例。由此可见，2018年高考文科、理科的两道解析几何的源头是一直的，有着相同的根，只是呈现的形式不同。文科以抛物线为背景，运算过程较简洁；理科以椭圆为背景，运算过程比抛物线略复杂。通过设置的位

7、置和运算过程的繁简程度来实现文科与理科数学的区别。事实上，不仅是解析几何试题有此特点，其他内容如函数等也是按此思路来命题。