一道不等式问题的证法研究-论文.pdf

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1、f高一：髓J墼<《一道不等式问题的证法研究■苏保明随着新课改的进一步实施与推进，选修内容越来越被命题+=1，即。=3，6=÷，c=1时取等号)，即≥3，者所亲睐．选修4—5《不等式选讲》是选考内容的重要内容之一0+2b+3c≥3．=3J'6~V≥3×3：9(当，其中证明不等式问题又是将来高考考查的重点题型之一，本文例举一例研究不等式的证明方法，供参考．且仅当。=2b：3c且1laDjc=1，即n=3，6=丢Z，c=题目：(2012年高考新课标福建卷理科数学：21(3)第(1I)1时取等号)，问)已知函数／()=m—l一2l，mER，且_厂(+2)≥0的所以a十2b+3c≥9．解

2、集为[一1，1]．点评：连续两次用同一公式o+b+c≥3．，关键是要(1)求m的值；保证每次取等号时。、6、c的取值必须一致，否则等号不成立．(Ⅱ)若。，6，c+，且÷1oj1c=／l't,求证：。+2b+方法3：利用公式2m+鲁n+鲁D≥，n十n十D．3r≥9．解法3：(I)(解略)m=1．(II)由(1)知：111：1万法一、常数代入法，且n，6，c∈R+，解法1：(1)(解略)m=1．所以由“，，eR，m，n，peR，则++≥(1I)由(1)知：÷11=1，且n，6，c∈R+，三”得所以。+2b+3c=(+1+)(n+2bm+n+D。+3c)=1+aojca·=a导++要

3、≥(Nf~N。=3,b=++++斋+姜++1=s3+(一a+蠢)+(詈+÷，c=1时取等号)，萎+c+≥s+2√·a2+2√警·萎+2所以a+2b+3c≥9．√·2b=9(当且仅当=且詈=a且3c=A2。~。l_点评：由++1=l构造导+12+12，其目的是通11=l，即。=3，6=÷，c：l时取等号)，过公式++≥转化为。+2b+3。的代数mnpm+n+p所以a+2b+3c≥9．式，进而得到证明．点评：常数代入法是最基本的常规解法，其目的就是构造方法四、向量法解法4：(I)(解略)m=1．出+一n的形式，即可利用均值不等式。+b≥2求出最，n(II)由(1)知：11：1，且口

4、，6，。∈R+，小值．此题虽然是求证。+2b+3c≥9，其实就是求a+2b+3caDjC的最小值．所以设m：(，，)，：(，，)，则由√口26J3C方法二、利用公式m·，l≤lmI．1，ll得解法2：(I)(解略)m=1．(II)由(1)知：÷11=1，且。'6jcR+，．‘√¨+．。√2¨+．‘孔≤由公≥3=1+1+1·瓜丽√_l_=s√(当且仅当=1=且+(当且仅当。=6：了6时取等号)，·16·壅f高一：随》》易懂，容易掌握，值得借鉴和学习．所以3≤√++·__丽，方法六、利用方差的性质所以，a+26+3c≥9．解法6：(I)(解略)m=1．点评：用向量法的关键就是正确构

5、造向量m和，l，并使得m(II)g1(1)知：II=1，且。，6，cR+，．n≤1m1．InI中出现1+．1和。+2b+3c才行．因此aZojC构造离散型随机变量的分布列：利用向量不等式m·／,／≤Iml·ll(或Im·／,／l≤Jm1．『1)2b3c是解决某些不等式问题的一种新方法，它能使解题过程简单P11l明朗．2b方法五、柯西不等式法因为=。2·+(26)。·+(3·1=n+2b+解法5：(I)(解略)m=1．r上0jC(Ⅱ)由(1)知：l1=1且。，6，c∈R+，由柯西jc’，(麟)=(1+2b·1+3c·)=9，不等式，得。00jC所以由EX2≥(EX)得a+26+3

6、c≥9，。+2b+3c=(a+2b+3c)×(+1+)≥(’1所以a+2b+3c≥9．11)=9(当且仅当。=3点评：用此法解决问题的关键就是能正确构造离散型随机+‘+‘，6=÷变量的分布列，而是否正确构造的关键又在于EX2≥(EX)中1时取等号)，是否出现所需要的式子．此法是一种带有很强的技巧性，必须所以a+2b+3c≥9。熟练掌握才能运用自如．点评：柯西不等式的引入，为解决某些相关的数学问题添[云南省蒙自市蒙自～中(661lO0)]增了新的恩撩方法．给解颢者一种懊乐感和成功感．法通俗三角形面积的坐标公式在解几中的应用举例■曾晓阳求解三角形面积的方法众多，精彩纷呈，其中蕴含着

7、丰富所以inA：：√以的数学知识与内涵，让人回味无穷．高中阶段，我们经常使用公+·√+y22式s=÷。6sinc=÷。csin日=lbcsinA来解决有关三角形而SAAn=1lA。B1．II·sinA=··积的问题，在具体解题的过程中，将公式适当地进行变形，使其坐标化再加以运用，不仅公式本身结构特征简单明了易于记丽一。’忆，而且使用起来思路清晰直接了当，让人赏心悦目、拍案叫绝．由此，我们得到了三角形面积的坐标公式，即：如图1，在AABC中，设：(，公式：在AABC中，若=(I，Y)，C=(2