对一道有趣不等式的深入探究-论文.pdf

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1、·专论荟萃·数学通讯——2014年第5、6期(上半月)65对一道有趣不等式的深入探究范花妹秦庆雄(云南省大理州漾濞一中，672500)有这样一道吸引大家眼球的有趣不等式由上述证明过程可知，其实我们证明了此问试题：题的如下加强：问题1设正实数口，b，c满足abc：1，求证：问题2对任意正实数n，b，c，均有~／可+~／+干T≤(口+b+c)~／+~／．二f+~／可≤(n+b+①c)一[(+√+一3]②本刊文[-1-]通过构造函数厂()一~／z。+1一显然，式②还可以进行如下的推广：问题3对任意正实数a。，n。，⋯，口，均有

2、一lnx(x>o)，借助二二阶导数和三元均值不厶~／可+~／+⋯+~／。干了≤√(n。+等式给出一个证明．n：+⋯+)一[(、／／+、／／+⋯+V-Z)一]是否有更简单、更初等(即不用导数)的证明③呢?笔者经过思考发现，借助平方差公式和二元均特别地，在式③中取++⋯+值不等式，最终可以获得一个简单、自然的初等解≥，可得：法，并顺势获得它的加强、推广和几个有趣的推论，现记录如下，供同学们学习时参考．推论1对正实数n。，口。，⋯，口满足。+简证由平方差公式和二元均值不等式，得~／口。+⋯+~／n≥，均有~／口。+1一~／(口

3、+1)—2Ⅱ+~／+⋯+一√(口+1一~／)(口+1+~／)≤√2(nl+Ⅱ2+⋯+口)④：=在式③中取口n⋯=1，并利用n元均值不等式：++⋯+≥·，可得：)(口+1+)推论2对正实数n1，口2，⋯，口满足nl口2⋯n=1，均有√(+1)(n+l一~／)(一1)(口+1+)++⋯+≤[(+1)(口+1一)+(一1)(n+厶≤√2(0+n2+⋯十口)⑤文末，笔者提出如下问题，供有兴趣的同学去1+)]探究：一一V2(W一1)，猜想对任意正实数n。，口，⋯，n，若即而≤一(√一1)，同理可得、可+、-=j+⋯+、、≤一一1)

4、，、而≤一≤~／干T(口+口：+⋯+n)一~／干T[(~／一1)。+~／+⋯+~／)一n]，将上述三式两边分别相加，可得求的取值．、厂Q厂b≤(n+b+c)一l_(++)一3]，参考文献：由三元均值不等式和abc一1，得D-i张俊．一道不等式试题的思考过程EJq．数学十+≥3(abc)丢一3，通讯(上半月)，2011(4)．故有干T+T+可≤(n+b-4-c)，当且仅当口：b—c：1时等号成立．证毕．(收稿日期：2014—02—15)