一道“有趣不等式”问题的思考-论文.pdf

《一道“有趣不等式”问题的思考-论文.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、2013年第12期中学数学研究·19·i．1Jc2÷=I2n．~l误差，表示无论用不足估计还是过剩估计来表示曲lnxl=ln(2n+1)，I1边图形的面积，误差都不会超过这个值，则同理可知不足估计的面积小于曲边梯形的面积一舳<一了++詈了+．”．·+丽+丽

2、是用到了这个结论例3(2012年天津卷理20题)已知函数)<2，．．．旱+++⋯+一·n(2儿+=一ln(x+口)的最／J、值为0，其中口>0．1、<2．(1)求口的值；点评：本题分为三问，题面比较简单，给出的函(2)若对任意的∈[0，+∞)，有厂()≤kx数比较常规，因此求解入手对于同学们来说没有难成立，求实数k的最小值；度，第三问是本题的难点，而上述解法另辟蹊径，挖掘不等式左右两边的几何意义，利用定积分定义中(3)证明：(2n+1)<2(∈Ⅳ‘)·“过剩估计值一曲边梯形的面积<过剩估计值一不解析：(1)易得a=1．足估计值”的结论来解决问题，解法虽然综合性强，(

3、2)易得实数k的最小值为÷但数形结合解法直观便于操作．积分法证明不等式是新课标下的一个新方法新(3)构造函数Y=÷并作图像如图3所示．因亮点，很值得品味．由以上例题可知，要解决这类复杂问题的关键是建立在充分理解和掌握定积分的概函数Y=在(0，+∞)上是连续的凹函数且是递念的前提下，同时善于联想善于分析问题和转化问题，这样才能化繁为简、化难为易．减的函数，由函数图像可知，在区间Y=上的／7,个一道“有趣不等式"问题的思考广东省珠海市实验中学(519090)王恒亮李一淳安振平老师在文[1]中提出了30个有趣不等一6)+ab(cost—d~'sinC+2)≥0，注意到co

4、sC一式，本文将对其中第29个不等式给出证明，同时对inC=2cos(c+)≥一2，故eosC一4~'sinC+2该问题作进一步探究，希望对读者有所帮助．J问题(第29个优美不等式)设AABC的三边长≥0，故(n一6)+ab(cosC一~／'J'sinC+2)≥0，故待为n，b，c，面积为s，求证：3口+36一c≥4gs．证不等式成立．证明：注意到待证式等价于2(口+b)+口+b设AABC三边长为口，b，c，面积为S，则有如下经一c≥4·10bsinC=2bsinC~=~2(0+b)+典不等式：口+b+c2≥4．‘该不等式为数学中著名的Weisenbock不等式，2

5、abcosC≥2bsinCc=~a+b+abcosC一4~absinC它也曾是第三届国际中学生数学竞赛试题中的第2≥O(口一6)+2ab+口bcosC一√6sinC≥0车(口题，应该说，该不等式是三角形中的一个经典不等·20·中学数学研究2013年第l2期式．对比上述第29个优美不等式与Weisenbock不等式，不难看出二者有一定的相似性．那么对于一般的△ABc的外接圆的半径，注意到≥4船三角形“口+6。+c。”与“3a+3b一c，’之间又有何≥种大小关系呢?譬≥。+6+≥结论1AABC的三边长为口，b，c，面积为S．2R(sinA+sinB+sinc)铮学≥in

6、A+。in十in(1)若C≤，则3a+3b一C2≥口2+6+c记)=sinx，∈(O，仃)，易知厂()在对应区≥4：间上为凹函数，由琴生不等式即可知sim4+sinB+(2)若C>"IT，则a2+b+c。≥3。+3b一c2sinC≤3sin++C33故口+b+≥4~ys．C≥4．综上可得o+6。+c。≥ab+6c+c0≥证明：△Ac中，若C≤詈，则c。sC=由结论l即知待证不等式成立．≥。，故口+6：-~2≥。，故3。：+36一注：由以上证明不难看出对于一般的AABC寐C2≥fl2+b+c,．结合WeisenbD不等式即知(1)成有a。+6。+c≥ab+bc+c口≥

7、3丽≥立．同理可证得(2)成立．≥4u／3So+b+C．事实上，△ABc中，若C≤T仃，我们还可以得到类似地，我们不难得到如下相关的结论：一个比结论1更为完美的结论：结论3AABC的三边长为口，6，c结论2AABC的三边长为口，b，c，面积为S，面积为S，若，若C≤7I"B≤孚，则3Ⅱ+3c一b≥(t2+b+C2≥口6++，则3n+3bmC2≥2+6+C2≥口6+6c+2c。≥3≥≥4；c口≥3≥04-b+C≥4s．。若A≤qT"，则3b+3c-O~2≥。+6+C2≥n6证明：注意到口。+b+c一(ab+bc+c口：[(口一6)+(6一)+~-a)]≥0，故。+