酒杯中的学问——对一道课本题的探究-论文.pdf

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1、第9高中数学教与学酒杯中的学问——对一道课本题的探究李培颖(江苏省徐州市侯集高级中学，221121)一、课本题赏析：Y一2(r一1)Y+／2=L厂()，)．例】一只酒杯的轴截面是抛物线的一其图象的对称轴为直线=r—l，且0≤，≤部分，它的方程是=2y(O≤Y《20)．在杯20。由题意厂(Y)在Y-：0时取得最小值，所以内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，那么r～1≤0，即0<，‘≤l_玻璃球的半径r应满足什么条件?解法3(恒成立问题)设A(0，r)(r>本题是苏教版选修2一l第68页第10题．0)P(，Y

2、)为抛物线上任意一点，由题意可它是以抛物线为背景的一道应用题，转化为知，P，i≥OA，即PA≥OA恒成立，即+(，r数学问题后可以从不同的视角求解．—r)≥，，化简得Y≥2y(r～1)．解法1(几何法)设玻璃球轴截面所在①当Y=0时，r>0；曲线的方程为+(Y一7)=r2(r>0)，即②当0

3、立目标函数求一1)．依题意，2(r一1)≤0，即0O)，本题进行了解答．若将抛物线的方程一般化设抛物线上任意一点P(，Y)，则为=2py(p>0)，不难利用上述解法推导PA：+(Y—r)=2y(Y—r)出玻璃球的半径1’应满足0

4、一t：=0)，利用消冗思想，从两个不同角度研究同一个臣0EL—l，，变量从而准确地把握该变量的值，它沟通了·．。直线=0为函数)图象抛物线的不等与榴等之间的联系，体现了多角度看问k题的发散思维．对称轴，故一：：0，即b=0，二12,七是处理二次函数逆向最值问题的3‘．．fl,：2厂()=2x一1．种常用的优化策略．在解题时，若能充分联想评注若函数x)在间JD上满足这3种策略．则可以挖掘出隐含条件，洞察问g()《)《h()，且g()≤()在区间题的本质，避免或简化分类讨沦，从而使得此DL恒成立，若存在∈D使

5、g(。)=h()类问题的解决呈现出难丽有巧，精彩迭出的=A，则‰)=A，不妨将这一命题称为函数效果．中的“两边夹”定理．两边夹的方法实际上是·47·高中教学教与学2014年二、横向推广>0)图象上一动点．若点P，A之间的最短距离2为2，则满足条件的实数n的所有值为——一．在例1中，如果酒杯的轴截面是椭圆+0分析类似酒杯中放球问题，本题等价=1(0>b>0)的一部分(椭圆的下半部于以A(口，口)为圆心，半径为2的圆与反比D分)，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯例曲线Y=一1(>0)相切，要求。的值．底部，

6、那么玻璃球的半径r应满足什么条件?解设P(，Y)为Y=(>0)上动，L点，则f1PA=(—d)+(Y一Ⅱ)2．'，将y=÷代入，得PA=(、+÷)，‘一Af0，—2口f+一1+2口一。．、I图1设+=t(t≥2)，贝0PA=，(t)=t解如图1，设玻璃球轴截面所在圆的圆心为M(O，m)(一a2时，由对称轴方程t

7、=a知￡)因为点P(x，Y)在椭圆上，所以=b。一=a)：8，最U口一2：8，解得0：、／10；)，：，代入()式，令y)：b：一z+(y—2。当口≤2时，由对称轴方程t=a知，t)⋯=2)=8，即口一2口一3=0，解得8m)=)，一2my+b+m．=一1．综上，所求Ⅱ的值为一1或v／lO．函数，，)图象的对称轴为直线y：ma，评注本题与酒杯中放球时球是否触及由题意可知Y)在Y=一a处取最小值，所以杯底问题同源，需要我们准确理解题意，发挥了试题在高考中的选拔功能，体现了命题者ma≤了一口，即一n

8、一，进而得到r=，n的匠心独运．同时可以发现，这道高考题的题根恰是题l——来自于课本!一-a)∈(0，譬1．四、结束语仿照上述解法还可以得到：高考命题者在设计试题时，有意识地将教材中的例题、习题进行移植和改编，给人酒杯的轴截面是双曲线一=1(0>“题在书外，源在书中”的感觉．高考题源于课0，b>0)的一部分(上支)，在杯内放一个玻本，课本是高考试题的“策源地”．教师要引导璃球，要使球触及酒杯底部，那么玻璃球的半学生吃透课本中例