对一道课本习题的深入探究

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1、对一道课本习题的深入探究对一道课本习题的深入探究对试题的研究是教师在教学和复习中经常做的一件事，通过研究把蕴涵其中的数学思想方法揭出来，挖掘出隐含的问题的本质属性.不但可以提高学生的空间想象、逻辑思维能力、分析和解决问题的思维技能，优化数学的思维品质•而且还可以培养学生探索创新的能力.本文以浙教版教材《数学》九年级下册3.1直线与圆的位置关系屮第50页课内练习第2题为例，做一些探索.题目：如图1,在❷Rt^AABC中，ZACB二90。,CA=4,CB=3.设OC的半径为「请根据下列r的值，判断直线AB与OC的位置关系,并说明理由.（1）r=2；（2）r=2.4；（3

2、）r=3.这是一道简单、基础的练习题，考查学生对直线与圆的3种位置关系的判定•本题市于图形的典型性，使得其中蕴含了丰富的内容，若将问题的背景设置在平面直角处标系中，通过坐标将“数”和“形”有机结合起来，拓宽知识的认知空间和深度，达到既考查几何问题，又渗透函数的思想与理念的目的，这便可演变出一系列问题：❷1•赋以坐标，让“数”、“形”互通❷问题1:如图2,在平面直角坐标系中，一次函数y=34x+3的图象是直线21,21与x轴、y轴分别相交于A、B两点.❷（1）若以原点为圆心，半径为2,则直线1^1与。0的位置关系是•❷（2）若以原点为圆心，半径为2.4,则直线1令1与

3、00的位置关系是•❷（3）若。0以原点为圆心，半径为4,则直线1❷1与。0的位置关系是.❷解析：本题改编了原题的呈现形式，但处理问题的方式是一样的，从而可得答案依次为相离、相切、相交.❷2•线“静”圆“动”，让“圆”动起来❷问题2:如图3,在平面直角坐标系中，一次函数y二34x+3的图象是直线1^1,1❷1与x轴、y轴分别相交于A、B两点.若OP的圆心坐标为（0,0）,其半径为1,OP沿x轴向左移动，当OP与直线AB相交时，求点P移动的单位长度的取值范围.解析:木题在原题的基础上作了一定的拓展，由静变动，让OP动起来，使题目更显生机•解答时，应先分析OP沿X轴向左移

4、动时与直线AB的位置情况：相离f相切f相交f相切f相离，为此，解题时应注意分类思想•❷如图4,当OP沿x轴向左移动时与直线AB第1次相切，切点为C,又易证△AP❷lCs^ABP,则AP❷1AB二CP01PB•根据题意，可得AP二4,BP二3,进而得AB二5,乂CP❷1二1,所以AP令15=13,解得AP❷1二53•同理,当。P与直线AB第2次相切（即在点A左侧时）,AP❷2二AP+AP❷1二4+53二173•❷所以，当OP与直线AB相交吋，点P移动的单位长度的取值范围为：53

5、函数y=34x+b的图象位置随b的不同取值而变化，圆心P的坐标为（0,0）,（DP的半径为1・❷（1）如图5,若直线y二34x+b与OP+U切，求b的值•❷解析:本题在原题的基础上作了较大的拓展，虽仍是由静变动，但与问题2乂有所不同，问题2是“圆”动,本题是“线”动，是一簇“平行于y=34x”的直线，但满足条件的直线只有两条•因此，解答此题的突破口是抓住：k相等，且与OP相切•❷当直线AB向下平移时，直线AB与（DP为出现下列位置关系：相离一相切一相交一相切一相离.当第1次和切吋，切点为D（如图6）,此时直线与x轴交于C点，y轴交于E点•乂易证厶PDE^ACPE,则

6、DEPD二PECP二34•而PD二1,所以DE1二34,解得DE二34,进而得PE二54,所以b二54.同理，当第2次相切，b二-54.0所以，满足条件的b有:b二❷±54.❷（2）如图7,若经过点A（-4,0）的直线y二kx+b（kHO）与OP相切，求直线的函数解析式.解析:本题与问题3比较，乂作了变式•问题3是“线”向下平动，木题是“线”绕点A旋转，是一束“发散”的直线，但满足条件的直线也只有两条•因此，解答此题的切入点是抓住与OP相切.❷当直线AB绕点A顺时针旋转吋，当第1次相切时，切点为C（如图8）,此吋直线与yAPAC二PDPD1,解得PD二41515),

7、进而求得•同理，当第2次相切,41515・❷线“静”点“动”,让“点”舞起來❷问题4:在平面15,又易证△APC^APDC,得PC,即415二41515,所以D(0,y❷❷AD❷二1515x+41515y❷❷AD❷[KG-*2]‘二-1515x-综上分析，所以满足条件的直线解析式有:y❷❷AD❷［KG-*2『二1515x+41515或4.y❷❷AD❷［KG—*2］'二一1515x-41515・❷直角坐标系中，一次函数y二34x+3的图象是直线21,21与x轴、y轴分别相交于A、B两点•如图9,点P、Q同时从点A出发，其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位;点