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1、一道课本习题的探究摘要：圆锥曲线是高屮数学的难点与重点，本文从课本例题出发，逐步提出问题，探究解决问题，得到一组优美的有关动直线过定点的结论,再结合结论探讨相关高考题，贴近高考，攻克高考.关键词：圆锥曲线；动直线；定点苏教版数学选修2-1第47页第8题：直线y二x-2与抛物线y2二2x相交于A,B两点，求证：0A丄0B.证明：设A(xl,yl),B(x2,y2),将y=x-2代入y2=2x中，得x2~6x+4=0,则xl+x2二6,x1x2=4,从而?=xlx2+yly2二xlx2+(xl-2)?(x2-2)二2xlx2-2(xl+x2)
2、+4=8-2X6+4=0,即OA丄OB.此题变式在历年高考屮多次涉及，例如：(2011湖南)如图1,椭圆C1：+二1(a>b>0)的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2-b截得的线段长等于C1的长半轴长.(I)求Cl,C2的方程；(II)设C2与y轴的交点为M,过坐标原点0的直线1与C2相交于点A,B,直线MA,MB分别与C1相交于D,E.(?)证明：MD1ME；(?)略.易见该题的(II)中第1小问与上文习题是同一题目.做完习题，下面我们将已知条件改为0A丄0B,看可以得到什么？经过几何画板的探索，可以得到：过抛物线y2=2x的顶点0作两
3、条互相垂直的直线，分别交抛物线于A,B两点，则直线AB过定点(2,0)・此时考虑对任意抛物线是否有类似性质，经探索，我们得到：结论1：过抛物线y2二2px的顶点0作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A,IT两点，则直线AB过定点(2p,0)・证明：设A(xl,yl),B(x2,y2),设直线AB方程为x=my+b,代入y2二2px,得y2-2pmy-2pb=0,则有yl+y2二2pm,yly2=-2pb,所以xlx2二(my1+b)(my2+b)二-2pbm2+2pbm2+b2二b2.又因为？=xlx2+yly2二-2pb+b2二0,所以
4、b二0(舍)或b二2p,从而有直线AB过定点(2p,0)・继续思考，若直角顶点不在原点0处，变为抛物线上任意一点，是否还有类似的结论成立？经探索，可以得到：结论2：过抛物线y2二2px上的一点P(x0,y0)作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A,B两点，则直线AB过定点(x0+2p,-y0).证明：设A(xl,yl),B(x2,y2),设直线AB方程为x二my+b,代入y2=2px,得y2-2pmy-2pb=0,则有yl+y2二2pm,yly2=-2pb,所以xlx2=(myl+b)(my2+b)二-2pbm2+2pbm2+b2=b2.
5、又因为？二(xl-xO)(x2-xO)+(yl-yO)(y2~y0)二xlx2-xO?(xl+x2)+x+yly2-yO(yl+y2)+y=b2~x0?(2pm2+2b)+x-2pb-2pmy0+y=b2-2pm2x0-2bx0+x-2pb-2pmy0+y=b2-m2y-2bx0+x-2pb-2pmy0+2px0=(b-x0-2p-my0)(b-xO+myO)=0,所以b=x0+2p+my0或b=xO-myO.(1)若b二xO-myO,则x=my+xO-myO,此时点P在直线AB上，矛盾；(2)若b=x0+2p+my0,则x二my+x0+
6、2p+my0,所以直线AB过定点(x0+2p,-yO).综上，直线AB过定点(x0+2p,-yO)・由结论2不难联想到过圆上一点P作两条互相垂直的直线，分别交圆于A,B两点，则直线AB过圆的圆心.这表明类似结论在圆与抛物线这两类二次曲线中均成立，我们不禁要问在椭圆或双曲线中是否有类似结论？用儿何画板探索可得：结论3：过椭圆+二1(a>b>0)上的一点P(x,y)作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A,B两点，则直线AB过定点结论4：过双曲线-二1上的一点P(xO,yO)作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于A,B两点，则直线AB过定点在掌握上述
7、几个结论之后再来看如下习题：(2011江苏)如图6,在平面直角坐标系xOy屮，M,N分别是椭圆+二1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连结AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k・(1)若直线PA平分线段MN,求k的值；(2)当k二2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意k>0,求证：PA丄PB.做第3小问时，从结论3出发，你是否找到新的证明方法了呢?
