一道课本习题的探究.doc

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1、一道课本习题的探究——教科书资源的开发与利用之必修2摘要:从近几年的高考题来看，以三视图为载体，考查空间想象能力的题型格外引人注目。这类问题的关键是由三视图得出几何体的直观图，由三视图标出几何量，再进行计算或者证明。下面以人教课标A版高中必修2的第21面习题1.2第5题为例，结合近几年的高考题，来探讨这类题型。关键词：三视图；直观图；计算；证明；课本习题（课本习题）如图,已知几何体的三视图,想象对应的几何体的结构特征,并画出它的直观图.解析:由几何体的三视图知：上部分是由一个圆锥，下部分是一个正四棱柱。它的直观图如上右图所示。一．由三视图想象几何体

2、的直观图1.（2011.浙江）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（B）二．三视图中知二求一2.（2011.课标全国）在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为（）解析:几何体是由半个圆锥和一个三棱锥构成,故选D.4三．由直观图确定三视图中部分图3.（2009.上海）如图所示,已知三棱锥的底面是直角三角形,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是（）解析:根据“长对正、高平齐、宽相等”，可得其主视图为选项B.四．由三视图标出几何量，计算高、体积、表面积4.（2010.

3、湖南）如图所示的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图,则解析:由三视图可知,棱锥的三条长分别为5,6,，且侧棱两两垂直,故（单位为m）5.（2009.辽宁）设某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为解析:这个空间几何体是一个三棱锥,这个三棱锥的高为2，底面是一个一条边长为4，这条边上的高为3的等腰三角形．故其体积6.（2011.北京）某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是A.32B.C.48D.解析:由三视图得四棱锥为正四棱锥,其高为PO=2,斜高PE=,所以其表面积,故选B.五．由三视图标出几何量，进行计算和证明7.（2009.广

4、东）某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图所示.墩的上半部分是正四棱,下半部分是长方体.图（2）、（3）分别是该标识墩的正视图和俯视图。（1）请画出该安全标识墩的侧（左）视图；（2）求该安全标识墩的体积;（3）证明:直线.4分析:（1）根据正视图和俯视图可以知道其侧视图和正视图是完全相同的;（2）根据两个视图给出的标记,这个安全墩的下半部分是一个底面边长为40、高为20的长方体,上半部分四棱锥的高为60,根据公式计算即可;（3）根据正四棱锥的性质进行证明.解析:（1）该安全标识墩侧（左）视图如图所示.（2）该安全标识墩的体积（3）如图所示,连接HF

5、、EG。由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，,，设点O是EFGH的对称中心，连接PO,，，,,8.（试题调研）一个四棱锥的三视图如图所示：（1）求证：PA⊥BD；（2）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30o？若存在，求的值；若不存在，说明理由．分析：根据已知的三视图知：这个四棱锥是一个正四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面的高为的等腰三角形。解析：（1）由分析知P-ABCD为正四棱锥，ABCD为正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，OQ连接AC、BD且交于点O，连接PO ．则PO平面ABCD∵BD⊥AC，BD⊥P

6、O，ACPO=O∴BD⊥平面PAC，PA平面PAC∴BD⊥PA．（2）由三视图可知,BC=CD＝2，可算出PD＝2，假设存在这样的点Q，∵AC平面PBD，OQ平面PBD∴AC⊥OQ，又AC⊥OD，∴∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角，由已知得PDB是边长为2的等腰三角形，PD＝2，∠PDO＝60o，在△DQO中，∠PDO＝60o，又∠QOD＝30o．∴DQO=900即OQ⊥DP∵在QOD中，DO＝DB=，∠QOD＝30o,∴QD＝OD=．∴4创新:已知一四棱锥P－ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。（1）是否不论点E在何位置，都有BD⊥A

7、E？证明你的结论;（2）求四棱锥P－ABCD的侧面积;（3）若E是侧棱PC的中点,在侧棱PB上找一点F,使EF//平面ADP.DBCEPA分析：由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2.解析：（1）不论点E在何位置，都有BD⊥AE。证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形∴BD⊥AC①∵PC⊥底面ABCD且平面　∴BD⊥PC②又∵③由①②③知BD⊥平面PAC　∵不论点E在何位置，都有AE平面PAC∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE(2)由分析知PC⊥CD,PC⊥BC,CD=CB,∴Rt△

8、PCD≌Rｔ△PCB∵AB⊥BC,AB⊥PC,　　∴AB⊥平面PCB　∵PB平面PBC，∴AB⊥PB同理AD⊥PD，∴四棱