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时间:2020-06-08
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1、一道课本习题的拓展探究一习题来源如图,AB⊥AC于点B,CD⊥BD于点D,P是BD上一点,且AP=PC,AP⊥PC,则△ABP≌△PDC。请说明理由。浙教版八年级《数学》(上册)2.7直角三角形全等的判定课后作业题第2题(第47页):已知条件:1、一组边相等(AP=PC)2、三个角相等(∠ABP=∠APC=∠PDC=90°)∠A+∠1=90°∠1+∠2=90°∠2+∠C=90°12∠A=∠2,∠C=∠1结论:△ABP≌△PDC基本图形的构造与应用条件、结论的互逆变换基本图形的变化拓展结论的延伸与拓展条件的弱化
2、问题演变如图,AB⊥AC于点B,CD⊥BD于点D,P是BD上一点,且AP=PC,AP⊥PC,则△ABP≌△PDC。请说明理由。一、结论的延伸与拓展观察图形猜想AB、BD、CD之间的关系,并证明你的猜想。例1、已知A、D是一段圆弧上的两点,且在直线L的同侧,分别过这两点作L的垂线,垂足为B、C,E是BC上一动点,连结AD、AE、DE,且∠AED=90°。如图,若点E恰为这段圆弧的圆心,则线段AB、BC、CD之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。再探究:当A、D分别在直线L两侧且AB≠CD,而其余条件不
3、变时,线段AB、BC、CD之间又有怎样的等量关系?请直接写出结论,不必证明。(1)经历观察猜想到验证的解决问题方法;培养学生探究能力与解决问题的能力。(2)让题设条件与图形“动”起来,克服思维定势和图形位置定势,使学生习惯于“开放”与“探究”的思维。E例2、如图,在笔直的公路L的同侧有A、B两个村庄,已知A、B丙村分别到公路的距离AC=3km,BD=4km。现要在公路上建一个汽车站P,使该车站到A、B两村的距离相等,(1)试用直尺和圆规在图中作出点P;(2)若连接AP、BP,测得∠APB=90°,求A村到车站
4、的距离。CDABLP添加应用背景一、结论的延伸与拓展渗透数形结合思想、培养应用数学知识解决问题的能力。二、条件和结论的互逆变换例3、两个全等的含30°、60°角的三角板DEA和三角板ACB如图所示放置,E,A,C三点在一条直线上,连结BD,取的BD中点M,连结EM,EC,试判断的△CME形状,并说明理由.培养思维的灵活性。MBCAED如图,AB⊥AC于点B,CD⊥BD于点D,P是BD上一点,且AP=PC,AP⊥PC,则△ABP≌△PDC。请说明理由。三、弱化条件∽弱化条件“线段相等”则结论由三角形的全等弱化为
5、三角形相似。演变命题1当一个命题成立的条件较为丰富时,可考虑减少其中一两个条件,或将其中一两个条件一般化,并确定相应的命题结论,从而加工概括成新的命题以求拓展应用。例4、如图,四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A在x轴上,点C在y轴上,将边BC折叠,使点B落在边OA的点D处.已知折痕 ,且(1)判断△OCD与△ADE是否相似?请说明理由;(2)求直线CE与x轴交点P的坐标;P6X8X3X4X10X5X5X如图,△ABC和△CDE中,点D在边BC的延长线上,AC=CE,∠ACE
6、=∠B=∠D,则△ABC≌△CDE。弱化条件“直角”,则“全等三角形”结论仍然成立。演变命题2=90°三、弱化条件例5、△ABC为等边三角形,点D、E、F分别在边BC、CA、AB上,且△DEF也为等边三角形。(1)在图中找到除等边三角形边长相等的线段,证明你的结论。(2)你所证明相等的线段,可以通过怎样的变换相互得到?写出变换过程。如图,△ABC和△CDE中,点D在边BC的延长线上,AC=CE,∠ACE=∠B=∠D,则△ABC≌△CDE。三、弱化条件∽同时弱化条件“线段相等”、“直角”,则结论由三角形的全等弱
7、化为三角形相似。演变命题3=90°例6、如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC=AD=6,∠ABC=60°,点E,F分别在线段AD、DC上(点E与点A、D不重合),且∠BEF=120°,设AE=x,DF=y(1)求y与x的函数解析式(2)当x为何值时,y有最大值,最大值是多少?AEDFCB充分运用数形结合和建立函数模型求最值问题∠ACE=∠B=∠D=90°△ABP∽△PDCAP=CP∠B=∠APC=∠D△ABP≌△PDC∠ACE=∠B=∠DAP=CP∠B=∠APC=∠D=90°△ABP≌△PDC△A
8、BP∽△PDC无论如何变换,本质是三个角相等,应用三角形相似(全等)来解决。四、图形的变化拓展从图形运动中找出规律,转化为一般的几何证明问题,探究解决新问题的策略。平移平移旋转轴对称ABCDEFG3.在正方形ABCD中,E,F分别是DC,BC边上的点,且BF=CE,连接BE,AF相交于点G,下列结论不正确的是()A、BE=AFB、∠DAF=∠BECC、∠AFB+∠BEC=90°D、AF⊥BCABCD
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