一道课本习题应用价值的探究.pdf

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1、<数理化解题研究)2o14年第如期(一巾)数学篇一道课本习题应用价值的探究安徽省五河一中(233399)杨威张同语●新课标教材数学4(北师大版)98页有这样一道题，例3(2o13年皖北省示范高中联考理科试题)已知22如图所示，已知il(x。，Y。)，(：，Y2)，试求以AB为直径的．．．，椭圆-a-+=1，过点e(o，3)作直线z顺次交椭圆于A，圆的方程．利用平面向量数量积知识容B点，以线段AB为直径作圆，则此圆是否过坐标原点?若C能，求出以AB为直径的圆过原点时直线Z的方程．若不易求得以AB为直径的圆的方程为

2、(一I)(一X,2)+(y一)(y—Y2)能，请说明理由．=0(1)．这道题给出了圆的方程的@口解析易知直线f垂直于轴时不合要求，故设直线0Z的斜率为k，则z方程为：y=+3，代入椭圆方程得(9k2又一种形式，一般称之为圆的两点式方程，该方程形式简明，富有美感，容+4)+54+45=0．由△>0j后>．设A(l，yI)，易记忆本文从以下几个方面挖掘其潜在的应用价值．B(，y2)，则以AB为直径的圆的方程为：(一。)(一1．结论的直接应用：)+(—y。)(Y一)=0．若过原点贝4(0一。)(0一2)例1已知抛物线

3、y=一1与轴交于A(一1，O)和+(0一Y1)(0一)=0，即l2+yl；0．又因为yl；B(1，0)，在此抛物线上取点P(异于A点)和Q，使得AP垂l+3，Y2=2+3，所以l2+，，1y2=(1+)I2+直PQ，试求点Q的横坐标的取值范围．解析设P(。，一1)，q(x：，：一1)，则以AQ为直3k(+9_(1)·+3k()+9=径的圆的方程为：(+1)(—)+y[，，一(2：一1)]=0．因为AP垂直PQ，点P在该圆上，所以(。+1)(。一：)0j=±÷，且后>去故以AB为直径的圆能过原点，此+(一1)(一

4、1一+1)=0．因为l+1≠0，I—2时直线方程为3一2)，+6=0或3+2)，一6=0．≠0，所以+(2—1)l—2+1=0．习么由△：(2—3．结论的形成应用1)一4(1一)≥0，解得≥1或≤一3．所以点Q横由直线与二次曲线c相交于A(，。)，B(，Y2)．联坐标的取值范围为(一∞，3]u[1，+∞)．立直线f与二次曲线C的方程，消去，，可得：一(。+：)例2(2013年蚌埠市第二次质量检查理科试题)已+。2=0，消去可得一(yl+y2)Y+，，lY2=0，两式相22．．知椭圆+旨=1的两个焦点为F。(一c

5、,0)，F2(c，o)，其加便可得以线段AB为直径的圆的方程：+)，一(。+ⅡO2)一(Y1+Y2)y+x,I2+Yl，，2=0．中o，b，c都是正数，长轴长是4．原点到过点A(O，一6)和例4(2013年皖北省示范高中联考文科试题)已知中，’B(口，0)两点的直线的距离为．，心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过M(1，)，直线z：=(1)求椭圆的方程；+1与该椭圆交于点P和点Q，且Dp垂直D，求椭圆的方强(2)点，Ⅳ是定直线=4上的两个动点，F·F2解析由条件可设椭圆方程为：A+=1(A>=0，证明以Ⅳ为直径的圆

6、过定点，并求此定点的坐标．0，B>0)．联立直线方程和椭圆方程消去Y得：(A+)书23．解析(1)方程为+}=1．解答略．+2Bx+B一1=0(1)．消去得：(A+B)一2Ay+A一叶1=0(2)．则(1)+(2)得以线段PQ为直径的圆的方程：(3)令(4，Y。)，N(4，Y2)，由已知F。·=(+B)x2+(A+B)y2+2Bx一2Ay+A+B一2=0．因为OP0==>y=一15．以MN为直径的圆的方程为(一4)。+(y垂直于oQ，所以原点在圆上，代人可得：A+一2=O(3)．又—)(Y—Y2)=0，化简得+

7、Y一(yl+)，2)Y一8+1=t厅10．令y=O==>一8x+l=O=4±15．所以过定点点(1，)在圆上，代人可得：A+(4)．联立(3)和(4)(4±，0)．解得：A=1，B=-4-，所以椭圆的方程为3x+=2．2．结论的变式应用将方程(1)变形为+Y一(l+2)一(Yt+Y2)Y由上可见，对课本习题进行适当的探讨，符合新课程+X,lX2+lY2=0，在该变式中含有l+2，Yl+，l2，理念．不仅可以拓展解题思路，锻炼思维能力，而且也能，，。，，2，由此可联想将之运用于解决直线与圆锥曲线位置关充分体现课本

8、习题的潜在的应用价值，毕竟回归课本也系的问题上面．是高考的基本要求．