对一道课本习题的深入探索_喻青山.pdf

《对一道课本习题的深入探索_喻青山.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、２０１４年第５３卷第１０期数学通报２１对一道课本习题的深入探索喻青山（湖北省十堰市竹山县第二中学４４２２１３）普通高中课程标准实验教科书数学必修２习别为ｈａ、ｈｂ、ｈｃ，△ＡＢＣ的面积为Ｓ，分别以边ａ、题１．３Ｂ组第３题（第３０页）：分别以一个直角三ｂ、ｃ所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲角形的斜边、两直角边所在直线为轴，其余各边旋面围成三个几何体的体积分别为Ｖａ、Ｖｂ、Ｖｃ，表面转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的积分别为Ｓａ、Ｓｂ、Ｓｃ．三视图与直观图，并探讨它们体积之间的关系．对这道题，体积的计算并没有多大问题，学生大多做得比较顺利

2、，但到了要探讨体积之间的关系时却犯了难，一时不知道该怎么前进，一是因为题中所说的体积之间的关系含义不太明确，是指等量关系呢还是大小关系呢？学生更多的理解是图２讨论体积之间的大小关系，或先讨论体积之间的大小关系，在看看体积之间有没有特别的等量关系，二是学生不善于变换，使得到的各种结果相互１１协调统一．教师用书上给出的参考答案２＋２＝Ｖ１Ｖ２１，学生看懂证明是不难的．２Ｖ３图３三个几何体的体积之间到底有哪些关系？如１旋转体的体积何更自然、更合理地探讨体积之间的关系呢？这１．１直角三角形些关系又能否推广到任意三角形呢？另外，三个１．１．１三角形是直角三角

3、形时的体积公式几何体的表面积是否也有类似的关系呢？带着这如图１，△ＡＢＣ是直角三角形时，它以边ａ或些疑问，笔者对这道习题展开了探究，没想到却收ｂ所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面获了一个又一个意想不到的精彩，不断感悟和欣围成的几何体是圆锥，以斜边ｃ所在直线为轴，其赏数学那一道道美丽的风景，体验数学独特的余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体是对顶魅力．圆锥（两圆锥的底面在内部叠合，两锥顶相对，即在底面的两侧），可得：１２１２Ｖａ＝πｂａ，Ｖｂ＝πａｂ，３３１２１２Ｖｃ＝πｈｃＡＦ＋πｈｃＢＦ３３图１＝１πｈ２（ＡＦ＋ＢＦ）＝１πｈ２１πｈ２ｃｃ

4、ＡＢ＝ｃｃ．为了表示得简便和直观，约定：△ＡＢＣ中，角３３３Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，边ａ、ｂ、ｃ上的高分１１ａｂ因为Ｓ＝ａｂ＝ｃｈｃ，所以ｈｃ＝，２２ｃ２２数学通报２０１４年第５３卷第１０期２２１２πａｂ１则Ｖｃ＝πｈｃｃ＝．后也都是成立的．受到对直角三角形的情形的３３ｃＶｃ这样就得到了Ｖａ、Ｖｂ、Ｖｃ的表达式，虽然这研究的启发，接着继续研究斜三角形的情形．些式子不算太复杂，结构上也比较接近，但要根据１．２锐角三角形２２２得出Ｖ、Ｖ、Ｖ的关系却并不容易．注ａ＋ｂ＝ｃａｂｃ锐角三角形以任意一边所在直线为轴，其余意到Ｖａ、Ｖｂ、Ｖｃ的表达式结

5、构上比较接近，看能各边旋转一周形成的曲面围成的几何体都是对顶否变换一下，使它们在结构和成分上更加协调、统圆锥（两圆锥的底面在内部叠合，两锥顶相对，即一；注意到Ｖｃ用边表示的式子最复杂，是分式，且在底面的两侧）．由图２，可知分母为ｃ，于是想到：１２１２２２２２Ｖａ＝πｈａＢＤ＋πｈａＣＤ１２πａｂ，Ｖ１２πａｂ，３３Ｖａ＝πｂａ＝ｂ＝πｂａ＝３３ａ３３ｂ＝１πｈ２（ＢＤ＋ＣＤ）＝１πｈ２１πｈ２，ｃｃＢＣ＝ａａ这样，就得到了一个优美的结论：３３３２２２２２２Ｖａ＝πａｂ，Ｖπａｂ，Ｖπａｂ．①同理Ｖ１２，Ｖ１２ｂ＝ｃ＝ｂ＝πｈｂｂｃ＝πｈｃｃ．３ａ３

6、ｂ３ｃ３３三个几何体的体积公式是如此和谐，若再注意到１１１因为Ｓ＝ａｈａ＝ｂｈｂ＝ｃｈｃ，１２２２Ｓ＝ａｂ，又可得：２２Ｓ２Ｓ２Ｓ２２２所以ｈａ＝，ｈｂ＝，ｈｃ＝，４πＳ４πＳ４πＳａｂｃＶａ＝，Ｖｂ＝，Ｖｃ＝．②３ａ３ｂ３ｃ代入上面的式子，则有２２２πａｂ４πＳ４πＳ２４πＳ２４πＳ２若令ｔ＝＝，则由①②可得Ｖａ＝，Ｖ，Ｖ．３３ｂ＝ｃ＝３ａ３ｂ３ｃｔｔｔＶａ＝，Ｖｂ＝，Ｖｃ＝（ｔ＞０）．③这与直角三角形中的结果②是完全一样的．ａｂｃ１．３钝角三角形由此知旋转体的体积与作为轴的三角形的边长成钝角三角形以最大边所在直线为轴，其余各反比．边旋转一周形成

7、的曲面围成的几何体是对顶圆锥１．１．２三角形是直角三角形时的体积关系（两圆锥的底面在内部叠合，两锥顶相对，即在底由①或②或③可知，若ａ＜ｂ＜ｃ，则Ｖａ＞Ｖｂ＞面的两侧），以另外两边中的任意一边所在直线为Ｖｃ；若ａ＝ｂ＜ｃ，则Ｖａ＝Ｖｂ＞Ｖｃ这样，就得到结轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体论：在直角三角形中，以越大的边为轴生成的旋转是两个圆锥的组合体（一种凹几何体：一个大圆锥体的体积越小．没想到直角三角形有如此和谐的挖去一个小圆锥，两个圆锥同底，两锥顶在底面的关系，对这个发现，笔者一边是喜悦，一边是惊讶．由于直角三角形ＡＢＣ中，ａ２＋ｂ２＝ｃ

8、２，利用同侧）．由图３，可知１２１２①或②或③，又可得Ｖａ＝πｈａＢＤ－πｈａＣＤ３３１１１Ｖ２＋Ｖ２＝Ｖ２．④１２１２１