对一道课本习题的改编历程

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1、对一道课本习题的改编历程起因：对《中学数学学习方法》一书中的下面这道练习题的思考。在此题中，虽P是BC边上任意一点，但无论它位置如何变化，都有AP=PF,PG=BP+DG。回想到它的原型（课本的这道题），从特殊到一般，弱化条件，从易到难可做变式如下：（1）其余条件不变，当点Ｅ是BC边上任意一点时，AE=EF是否还成立？若成立请写出证明过程。（证明方法类似课本，此外我发现还有5种方法）。（2）如图，连接AF交CD于点G，连接EG，证明EG=BE+DG。（证明略）在证明（2）的过程中，我思考得出：只要AB=AD，∠B+∠D=1

2、80°，∠BAE+∠GAD=∠EAG，即∠EAG=∠BAD，则依然有EG=BE+DG，所以得出变式（３）四边形ABCD（不一定是正方形）中，AB=AD，对角互补，∠EAG=∠BAD，EG=BE+DG是否还成立？若成立请证明。（图略，证明略）做完以上变式后，我思考：既然点E是动点，那它在BC延长线或反延长线上时，AE=EF还成立吗？EG、BE、DG之间是否也有这样的关系？如果不是，那又是什么数量关系？还是从特殊到一般，从易到难去考虑，先从正方形入手。1.先讨论点Ｅ在BC的延长线上的情况。如下图：可得变式（4）AF与CD的延长

3、线交于点G，∠EAG=∠BAD，问AE=EF是否成立？BE、DG、EG之间有何数量关系？请写出证明过程。（BE=DG+EG，证明过程略）弱化条件得到变式（5）四边形ABCD（不一定是正方形）中，AB=AD，对角互补，∠EAG=∠BAD，证明BE=DG+EG。（图和证明略）2.再讨论点Ｅ在CB的延长线上的情况。如下图：可得变式（6）AF与DC的延长线交于点G，∠EAG=∠BAD，问AE=EF是否成立？BE、EG、DG之间有什么数量关系？请写出证明过程。（DG=BE+EG，证明过程略）弱化条件得到变式（7）四边形ABCD（不一

4、定是正方形）中，AB=AD，对角互补，∠EAG=∠BAD，证明DG=BE+EG。（图和证明略）著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出：“一个好的教师应该懂得并且传授给学生下述看法：没有任何问题可以解决的十全十美的，总剩下些工作要做，经过充分的探讨与钻研，我们能够改进这个解答，而且在任何情况下，我们总能提高自己对这个解答的理解水平。”这道题还能变吗？原题是点变，那形变可以吗？把正方形改成等边三角形看看。类比前面可得变式（8）：如图所示，∠AEF=60°（原题中∠AEF=90°，在此是等边三角形，为了构造全等三角形，改成

5、60°）。证明AE=EF。（证明略）变式（9）：如图所示，点E在BC延长线上，∠AEF=60°，证明AE=EF。（证明略）变式（10）：如图所示，点E在CB延长线上，∠AEF=60°，证明AE=EF。（证明略）若把正方形改成正五边形呢？类比前面可得以下变式：变式（11）：如上图，∠AEF=108°，证明AE=EF。（证明略）变式（12）：如下图，点E在BC延长线上，∠AEF=108°，证明AE=EF。（证明略）变式（13）：如下图所示，点E在CB延长线上，∠AEF=108°，证明AE=EF。（证明略）以此类推，正n边形中，

6、只要∠AEF=正n边形的内角，都有AE=EF。只是没有像四边形中的BE、EG、DG之间那样的关系。著名数学教育家波利亚在《怎样解题》一书中指出：数学问题解决的过程必须经过下列四个步骤，即理解问题、明确任务；拟定求解计划；实现求解计划；检验和回顾。我们经常都忘了或没有做第四步。如果我们经常对于精彩习题进行解题回顾，也许就能想到更好或更多的解法，也许就能命制出新颖精彩的中考题。