一道课本习题的思路和证法.pdf

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1、-■一道课本习题的思路和证法■陈慧泽解决问题是学习数学的一个重要目的，通过解题活动来培人手，积化和差．养学生良好的思维能力是数学教学的中心目标．一题多解无疑证法4：sin2+C08(+30。)+sinacos(+30。)=是激发学生兴趣，开拓学生思路，培养思维品质和提高应变能+。(+30。)[。(a+30。)+ina]：—+力的一种行之有效的方法．充分挖掘课本习题的功能，一题多解，对培养学生的解题能力可以取得事半功倍的效果．sin(60。一)[sin(60。一)+sina]=1一一{一cos2a+sin(60。题目：

2、(高中数学人教A版必修4第138页B组题3)观察下一)[28in30。c。s(30。一)]=1一1c。s2+÷[sin(90。一列各等式：sin30。+c0s60。+sin30。cos60。=÷，sin20+cos250。+sin2ooc0s50。=}，sin15。+c。s45。+sinl5~COs45。2a)+sin30。]=÷一号c。s2+lcos21=3．思路5：从形人手，配方化简；从名人手，诱导公式；从角入一三一d‘手，和差化积、积化和差．证法5：sin2a+COS(+30。)+sinacos(a+30。)：

3、[sina分析：上式各式的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．一般规律的等式为：sin++COS(O／+30。)]一sinacos(+30。)=[sina+sin(60。一Ot)]c。s。(+30。)+sinacos(+3O。)=3一÷[sin(2a+30。)+sin(一30。)]=[2sird0。cos(一30。)]思跆l：从角八手，夏角化早角．一吉sin(2+30~)1=c。s(一30。)一÷sin(2a+30~)+证法1：sin。+COS(+30。)+sinacos(+30。)=sin

4、+(cosacos30。一sinasirt30。)+sina(cosacos30。一sinasin30。)÷4=2一÷2s⋯in⋯(2一+’30。)+4=上2+=sin2a3cos2一譬sinc。s1sin2+孚sinc。s一÷sin(2+3o。)一÷sin(2+30。)+÷=÷．1．23．2323．思路6：从形人手，构造对偶式，设元，方程思想；从角入手，ms1“c0’和差化积．思路2：从幂人手，高次化一次；从角人手，复角化单角．证法6：设A=sinOt+COS(+30。)+sinotcos(+30。)，证法2：si

5、n+COS(+30。)+sinacos(+30。)=B=COS+sin2(fit+30。)+cosasin(+30。)，贝UA+B=2+1-cos2a——_+—±—量(_—．±—Q二+sina(c0scos30。一sin(2+30。)，两式相力口得—B=一cos2a+C0$(2a+6O。)+1’1一一一一。。。sin(一30。)=一2sin(2+30。)sin30。一÷=一sin(2a+30。)8inasin30。)：1一÷c。s2+÷(c。s2acos60。一sin2OrSin60。)+1两式相加得2A=2—1=3

6、所以A=3一即sin2+孚sinc。s一÷sin2=一丢cos2+÷c。s2一孚sin2+，，，c0s(+30。)+sinotco~(+30。)={一．譬si一=一÷c。s2+÷c。a一÷=÷．／证法7：设A=in+cos(0f+30。)+sinotcos(+30。)，思路3：从幂人手，高次化一次；从角人手，积化和差，和差B=COS十sin2(O／十30。)一cosasin(a+30。)，贝UA+B=2+化积．sin(一30。)=3／2，A—B=一cos2a+COS(2a+60。)+sin(2a+证法3：sin0【+

7、COS(+30。)+sinacos(a+30。)=30。)=一2sin(2a+30。)sin30。+sin(2ot+3O。)：0．两式相力日1-cos2a得2A=3／2，所以A=3／4，即sinOt+COS(+30。)+sinacos(++下^’^’÷1[sin⋯(孙一+30。)，+s一in(一30。)，]：+30。、=3／4．丢+÷[c0s(+6oo)一c。]+÷sin(2+30。)=3+同一道题从不同的角度去分析研究，会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法．在教学中，挖掘、利用课本例题、习题，÷[．2sin(2

8、+30。)sin30。]1sin(2+30。)=3一不失时机地进行一题多解训练，引导学生通过广泛的联想，培养学生从不同的角度分析问题和解决问题的意识，寻求最佳解法，号sin(2+30。)丁1sin(2+30。)=3．掌握通性通法，只有这样，在解题时才能游刃有余，更加自信．思路4．从幂人手．高次化一次：从名人手．诱导公式：从角[甘肃省定西市第一中