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1、一道课本习题的深化和发展055350河北隆尧一中焦景会在当前中学数学教学中，往往对课本中的例题、习题重视不够。事实上，课本中许多例题、习题具有很强代表性、典型性，对其深化和发展、全方位探索，可以促进学生研究课本，真正掌握基础知识，提高他们的解题能力。现举一例如下：题目：如果函数f(x)=lg，求证f(a)+f(b)=f()（高中数学第一册上）。此题证法简单，只许将a、b代入等式左边进行对数运算即可得证。下面对此题进行重新编拟，综合思考，将会对函数的定义域、值域、奇偶性、单调性，反函数的性质及求法
2、得以加深和巩固。一、对原题条件多方面思考1、求f(x)的定义域及值域解：要使f(x)有意义，须＞0，解之得－1＜x＜1，即为f(x)定义域。由对数的定义及性质可得f(x)值域为R。2、讨论f(x)的奇偶性由于f(x)定义域表示的区间在数轴上关于原点对称，当x∈(―1,1)时，―x∈(－1,1)，由f(－x)+f(x)=lg+lg=lg=lg1=0，得f(－x)=－f(x)，故f(x)在(－1,1)上为奇函数，由此可知，=也成立。3、讨论f(x)单调性设y=f(u)=lgu，u∈(0,+∞),u=
3、g(x)=,x∈(－1,1)，由函数u=g(x)==－1，易知u=g(x)在x∈(－1,1)上为减函数，而y=f(u)=lgu，在u∈(0,+∞)上为增函数，故y=f[g(x)]=lg在x∈(－1,1)上为减函数。4、f(x)的反函数设y=f(x)=lg，从中可求得10y=，得x=，对换x、y得y=f－1(x)=即为f(x)的反函数，定义域为R。因为单调函数与其反函数有相同单调性，所以f－1(x)也是减函数。又因为奇函数若有反函数，则反函数也是奇函数，故f－1(x)也是奇函数。二、对结论类比推广
4、5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,multi-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve31、已知函数f(x)，，若对任何实数a、b都有=成立，
5、求证：f(x)为奇函数。证：由a、b∈R且)=成立，可取b=0，得f(a)+f(0)=f(a)，得f(0)=0，再取a=－b，得f(a)+f(－a)=f(0)=0，即f(－a)=－f(a)，又a为任意实数，即得f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数。（后一情形证略）。注：函数f(x)定义域表示区间在数轴上关于原点对称，是函数具有奇偶性的必要条件。2、如果y=f(x)，x∈R，对任何a、b都有f(a)+f(b)=f(a+b)或f(a)－f(b)=f(a－b)成立，则f(x)为奇函数。（证明略）
6、3、若y=f(x)，x∈R，对任何a、b都有=，成立，则f(x)是奇函数。证：由可取a=b=0得2f(0)=，得f(0)=0，再取a=－b，得f(a)+f(－a)==0，即f(－a)=－f(a)，因a为任意实数，即得f(－x)=－f(x)，∴f(x)为奇函数。（另一情形略）4、若y=f(x)定义域关于原点对称，当a、b是定义域中数时，有=或=成立，则f(x)为奇函数。证：∵f(x)定义域关于原点对称，且当a、b是定义域中数时，有=成立，∴b－a、－(b－a)也是定义域中的数，由题设关系式变形为=
7、，于是有===－=－f(b－a)，∴f(x)为奇函数。（另一情形略）。三、深化发展，综合应用例1、已知f(x)=lg，若=1，=3，其中
8、a
9、＜1，
10、b
11、＜1，求f(a)和f(b)的值。解：由于=，=，得方程组：5.1-9,,services,andmakethecitymoreattractive,strengtheningpublictransportinvestment,establishedasthebackboneoftheurbanrailtransitmulti-level,mul
12、ti-functionalpublictransportsystem,thusprotectingtheregionalpositionandachieve3，解得。例2、若f(x)对任意a、b∈R，都有f(a+b)=f(a)+f(b)成立，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝―2，求f(x)在[―2，2]一的值域。解：由前面讨论知，f(x)在R上为奇函数，下面讨论f(x)在R上单调性。设x1、x2∈R，且x1＜x2，则f(x1)―f(x2)=f(x1)+f(―x2)=f(x1―x2)，∵x1―
