对一道课本习题的延伸与探究（徐久钰）

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1、对一道课本习题的延伸与探究MANBP图（2）MANBP图（1）八年级数学（下）北师大版216页B组第2题：我们在本章复习题A组第7题中已经证明，当直线MA∥NB，并且点P在MA和NB之间时，有∠APB=∠MAP+∠NBP（如图（1））.当点P在MA和NB之外时（如图（2））会有什么结果？你还能就本题作出什么猜想？易证当点P在MA和NB之外时，有∠MAP=∠NBP+∠APB（证明略）.师：你还能就本题作出什么猜想？（同学们这时议论纷纷，情绪一下便调动起来了）MANBP图（4）生：当点P在MA和NB之间（如图（3））时，有∠MAP+∠PBN+∠APB=3

2、60°.图（3）MANBP生：当点P在MA和NB之外时（如图（4）），有∠NBP=∠MAP+∠APB.师：很好.图（2）与图（4）中的结论虽然形式上不一样，但它们有本质的不同吗？生：没有，可看作是同一种类型.师：如果在MA和NB之间有两个点P1、P2呢？又会有什么样的结论呢？（组织学生讨论，同学们这时积极性更高.）师：这时，P1、P2两点有哪几种位置关系？生：有两种,如图（5）和图（6）所示：MANBP1图（5）P2图（6）MANBP1P2生：在图（5）中，有∠AP1P2+∠P1P2B－∠MAP1－∠NBP2=180°（证明略，虚线表示辅助线，以下同

3、）在图（6）中，有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2B+∠NBP2=540°师：还有没有其他情况？生：P1、P2两点的位置还可能是如图（7）或图（8）所示，BP2MANP1图（8）P2MANBP1图（7）在图（7）中，有∠NBP2+∠P1P2B+∠MAP1－∠AP1P2=180°在图（8）中，有∠MAP1+∠AP1P2+∠NBP2－∠P1P2B=180°MANBP1图（9）P2师：非常好！P1、P2两点的位置除了在MA和NB之间外，还有没有其他情况呢？生：P1、P2两点的位置还可能是如图（9）所示,这时有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2B－∠N

4、BP2=180°.一堂课到这里时间也差不多了，所得结果甚至超出了我的预期想象，同学们积极参与，通过动脑、动手、自主探究、互相合作，获得了知识，这正是新课标的目的与要求.虽然快下课了，可同学们似乎还意犹未尽，为了进一步激发学生学习数学的人情，我又提出如果增加到3个点、4个点……n个点，情况又会是怎样的呢？有兴趣的同学不妨试试看.几天后，几个对数学非常感兴趣的“尖子生”说他们已经探索出了规律.现把他们的思想整理后在这里与大家交流.随着点的增多，并考虑到规律性，主要分为三种类型：第一种：如图（1）和图（5）所示的这一类型.当MA和NB之间有3个点（1、2个

5、点的情况上面已讨论）P1、P2、P3时，如图（10），这时有：∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3B－∠MAP1－∠NBP3=360°=（3－1）180°MANBP1图（10）P2P3MANBP1图（11）P2P3P4当MA和NB之间有4个点P1、P2、P3、P4时，如图（11）这时有：∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+∠P3P4B－∠MAP1－∠NBP4=540°=（4－1）180°……依此类推，当MA和NB之间有n个点P1、P2、P3、P4……Pn（顺次连接点A、P1、P2、P3、P4……Pn、B、A所组成的多边形为凸n边形）时,

6、有∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+……+∠Pn－1PnB－∠MAP1－∠NBPn=（n－1）180°(Ⅰ)，显然当n=1、2时(Ⅰ)式都成立.第二种：如图（3）和图（6）所示的这一类型.当MA和NB之间有3个点（1、2个点的情况上面已讨论）P1、P2、P3时，如图（12），有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3B+∠NBP3=720°=（3+1）180°图（13）MANBP1P3P2P4P2图（12）MANBP1P3当MA和NB之间有4个点P1、P2、P3、P4时，如图（13），有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3

7、+∠P2P3P4+∠P3P4B+∠NBP4=900°=（4+1）180°……依此类推，当MA和NB之间有n个点P1、P2、P3、P4……Pn（顺次连接点A、P1、P2、P3、P4……Pn、B、A所组成的多边形为凸n边形）时,有∠MAP1+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3P4+……+∠Pn－1PnB+∠NBPn=（n+1）180°(Ⅱ)显然当n=1、2时(Ⅱ)式都成立.第三种：如图（4）和图（9）所示的这一类型.当MA和NB之外有3个点P1、P2、P3时，如图（14），有MANBP1图（14）P2P3MANBP1图（15）P2P3P4∠MAP1

8、+∠AP1P2+∠P1P2P3+∠P2P3B－∠NBP3=360°=（3－1）180°当MA和NB之间有4个