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1、学科探索关于定积分不等式的证法探悉张笛（中国矿业大学（北京）理学院北京100083）摘要本文讨论、研究了利用定积分定义，性质，定积分计算，初等不等式，泰勒公式，构造变限积分函数，中值定理，被积函数相关性态，二重积分和柯西—施瓦茨不等式等方法来证明积分不定式;并加以例题分析，阐述运用这些方法时的基本思路和解题技巧。关键词定积分不等式证明中图分类号：O172.2文献标识码：AAbouttheProofMethodofDefiniteIntegralInequalityZHANGDi(CollegeofScience,ChinaUniversity
2、ofMiningandTechnology,Beijing100083)AbstractThisarticlediscussestheuseofthedefiniteintegraldefinition,nature,definiteintegralcalculation,elementaryinequality,Taylorformula,structuralchangelimitintegralfunction,themeanvaluetheorem,theplotfunction-relatedbehav-ior,doubleinteg
3、ralsandCauchy-Schwarzinequalityintegrationandothermethodstoprovetheinfinitive;analyzeandmakeexamplestoexplainthebasicideasandproblem-solvingskillswhenusingthesemethods.Keywordsdefiniteintegral;inequality;proof0引言其中点（0,），（,1），由积分的绝对值不等式性质得11定积分不等式证明是高等数学的重点和难点，下面通过∣（）∣=∣[（）（
4、0）]+[（）（1）]∣001例题分析，来探讨在定积分不等式证明过程中的基本思路、技≤∣[（）（0）]∣+∣[（）（1）]∣≤01巧和方法。∣（）∣+∣（）（1）∣≤011利用定积分定义证明不等式max∣（）∣[+（1）]00122例1设函数（）在区间[0,1]上连续，且单调递减。证明：（1）=max∣（）∣[+]。0122当0＜＜1时，有221（1）1所以，∣（）∣≤max∣（）∣[+]，当=0（）≥0（）。00122证明由题意知函数（）在区间[0,1]上连续，故在区间[0,]1时，即得上述结论。2上可积，将区间[0,]等分，且取各区间右端
5、点==，则3利用定积分计算方法证明不等式+2（）=lim（）=lim（）。同理将区例3证明函数（）=是一正常数。0=1=1证法一：由题意知函数（）是以2为周期的周期函数，11间[0,1]等分，且取各区间右端点==，则（）=+220故（）==。11112lim（）=lim（），故（）=lim（）。故（）是一常值函数，且（）=（0）=。令=00=1=1=12+，则=++=，因函数（）在区间（,）内单调递减，又当0＜＜1时，有002111令（）=（）=≥0，[0,]，故函数（）在＜，所以，（）≥（）。于是当0＜＜1时，有11区间[0,]上是不恒为零
6、的非负连续函数。所以，（）=（0）=（）（）=lim[（）（）]≥0。综上002=1+=（）＞0。00命题得证。综上命题得证。2利用定积分性质证明不等式证法二：由题意知函数（）是关于的变上限积分函数，例2设函数（）的一阶导函数在区间[0,1]上连续，且故11（0）=（1）=0，求证：∣（）∣≤max∣（）∣。（）=+2（+2）=0。04012证明：对（0,1），有所以，函数（）是一常值函数，令（）=≥0，[0,2]，故（）在区间[0,2]上是不恒为零的非负连续函数，故222＞0，由分部积分得（）=（0）==00222220+=+1＞0。00即
7、函数（）是一正常数。44科教导刊2014年1月（中）学科探索4利用初等不等式来证明积分不等式证明：由题意知（）＞0，故（）是区间[,]上凹函数，直例4设（）是区间[,]上的连续函数，且满足0＜≤线与函数（）的图象交于，两点且（,（）），（,（）），2（）≤，证明：（）1≤（+）（）2。弦位于（）图象的上方。（）4（）（）证明因函数（）在区间[,]上连续，且0＜≤（）≤，弦所在直线方程为（）=（）+（）。故综上知当[,]时，有（）≥（），故［（）］［（）］（）（）=（）+（+）≤0，即（）＜（）=（）+（），（*），（,）。（）（）（）+≤+，
8、（*），对（*）式两边同时定积分得对（*）式两边同时定积分得（）（）（）1（）＜（）（）+（）（）+≤（+）（）。（1）（）22=[（）+（）]。由初等不等式+≥2
