定积分不等式.doc

《定积分不等式.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、一．仅知被积函数连续的不等式1.设在上连续且单调减少，证明：对于任意的，都有。2.设在上连续且单调减少，证明：。3.设在上连续，证明。4.设在上连续，且满足，证明：-----------（Kantorovich）康托洛维奇不等式二．被积函数一阶可导的不等式（对用微分中值公式或对原函数用泰勒公式）5.设连续可微，且，，证明：任给总有。6.设在上连续可微，且，，证明。7.设在上连续可微，且，，证明。三．被积函数二阶可导的不等式（用泰勒公式）8.设在上二次连续可微，且，，证明。9.设在上二次连续可微，且，，证明。10.设在上二次连续可微，且

2、，证明。四．具体函数的积分不等式11.证明。12.证明。————————————————————————————————————一．仅知被积函数连续的不等式1.设在上连续且单调减少，证明：对于任意的，都有。证法1（换元法）令，（因单减，）。证法2（单调性）设，（）所以单减，，即。证法3（利用定积分性质）证法4（函数最值）设为函数的驻点，且时单增，时单减。所以为函数的最大值，而最小值在端点取得。又，故。(或者为单调递减函数，为上凸函数，最小值在端点取得。)证法5（微分中值定理）设，则，因为单减，所以即，也就是，得证。证法6（用定积分定义

3、）2.设在上连续且单调减少，证明：。证明作辅助函数，。（因单调减少）所以单调减少，故，即不等式成立。3.设在上连续，证明。证明作辅助函数，，所以单调减少，故，即不等式成立。注此题也可用不等式快速证明。同类的题还有：设在上连续，且，证明。4.设在上连续，且满足，证明：-----------（Kantorovich）康托洛维奇不等式证明：因为即推得又故即。注(特例)设在上连续，且满足，证明：。二．被积函数一阶可导的不等式（对用微分中值公式或对原函数用泰勒公式）5.设连续可微，且，，证明：任给总有。证法一（对原函数用泰勒公式）记，，则，而令

4、，有（1）（2）（1）（2）得则。法二记，，则。若，则结论自明。若不恒为零，则的最大值必在区间内某点取得，且该点为极值点，。用泰勒公式可得故若，取可得，若，取可得。综上有。6.设在上连续可微，且，，证明。证明法一。法二记，，所以。7.设在上连续可微，且，，证明。证记法一仿3题可得，易知。法二令，，所以同理令，，所以,从而法三分部积分（用上条件）故三．被积函数二阶可导的不等式（用泰勒公式）8.设在上二次连续可微，且，，证明证法一分部积分可得（用上条件）进而。法二记，分部积分可得因为故注（特例）设在上二次连续可微，且，，证明。9.设在上二

5、次连续可微，且，，证明证明（涉及到端点外的第三点）记，则，在该点用泰勒公式有，而，。10.设在上二次连续可微，且，证明。证明1)先证，记，由（因）。2)再证，令，当时，由，知单调增加，，，故。四．具体函数的积分不等式11.证明：。证明=12.证明：。证明利用，。