定积分——定积分的应用

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1、内容提要1.元素法；2.平面图形的面积；3.立体的体积。教学要求1.熟练掌握应用微元法去解决积分中的实际应用题；2.熟悉各种平面面积的积分表达方法；3.熟练掌握应用微元法求体积的方法；4.能用定积分表达某些物理量。第五讲定积分的应用回顾用定积分求曲边梯形面积的问题：及直线所围成的曲边梯形的面积其求解步骤如下：abxyo一、定积分的微元法abxo第一步：分割将区间任意分成个小区间由此曲边梯形就相应地分成个小曲边梯形。第二步：近似形面积之和即所求的曲边梯形面积A为每个小曲边梯为底的小矩形面积近似代替小曲边梯形面积第三步：求和第四步：

2、取极限总结：上述四步中，由第一步知，有关，部分量的和，可加性.分成许多小区间，的面积A这个量就相应地分成许多部分量，如果把区间具有这种性质称为所求量A对区间则所求而A是所有abxo所求面积A这个量与就是定积分的被积表达式abxo上述第二步中的近似表达式可确定定积分的被积表达式方法是：于是有再将区间则可写为称为面积A的微元，于是即记为一般地，当所求量F符合下列条件：以上方法称为这就给出了定积分的被积表达式于是“微元法”微元法解决实际问题的一般步骤如下：(1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如取为积分变量，并确定它的变化区间以上步

3、骤要熟练掌握!如：平面图形的面积；引力和平均值;液体的压力；变力做功；平面曲线的弧长；体积；注意微元法解决实际问题的使用对象：具有可加性的量等等.二、平面图形的面积1）如果则SS即（一）、在直角坐标系下的面积问题如图则熟记用微元法：cd熟记用微元法：所围成的图形例1计算由抛物线的面积A.解用微元法确定积分区间：解方法一：选择x作积分变量1从而得到积分区间区间上任取一小区间dA面积微元oxy确定积分区间：面积微元方法二：选择y作积分变量解得y=0,y=1从而得到积分区间区间上任取一小区间1yy+dydA解求两曲线的交点选为积分变量

4、选x作积分变量时，需求两块面积yy+dy作面积微元dAdA成的图形的面积.解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．注意：如果曲边梯形的曲边的方程为参数方程：o曲边梯形的面积由上例可知：解由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．注意：练习面积微元曲边扇形的面积（二）、在极坐标系下的面积问题所围成的图形，称为曲边扇形.解用微元法解解所围平面图形的面积A.例2求心形线解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积求双纽线所围平面图形的面积.练习2.在极坐标系下的面积问题三、体积旋转体圆柱圆锥圆台（一）、旋转体的体积由一个平面图形绕这个

5、平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．取横坐标x为积分变量,一般地,轴所围成的曲边梯形,及x轴旋转一周而成绕x由连续曲线直线的立体,它的变化区间为相应于上任一小区小曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片近似地等于以f(x)为底面半径、dx为高的圆柱体的体积，即体积微元为于是，在闭区间[a,b]上作定积分，得所求旋转体体积为的体积例1圆锥体的体积解直线的方程为利用旋转体体积公式，知：例2计算椭圆绕x轴旋转而形成的旋转体的体积.解这个旋转体可以看成以半个椭圆绕x轴旋转而成的立体取积分变量为x,利用旋转体体积公式，知：所求的体积为

6、求星形线绕x轴旋转构成旋转体的体积.解由旋转体的体积公式，知：练习类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yxj=直线cy=、dy=及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转体积为熟记一周而成的立体，例3旋转一周而成的旋转体的体积.图形解（二）、平行截面面积为已知的立体的体积设一立体位于过点x=a,x=b且垂直于x轴的两平面之间，从而用垂直于x轴的任一平面截此立体所得的截面积A(x)是x的已知函数，x取x为积分变量，在区间[a,b]上任取一小区间过其端点作垂直x轴的平面，xx+dx作体积微元：xx+dx[x,x+dx]，以A(x)为底，dx为高

7、作柱体，用微元法：解取坐标系如图底半圆方程为截面面积立体体积而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体的体积.解设截面面积为取坐标系如图底圆方程练习解设截面面积为cd恰当的选择积分变量有助于简化积分运算.小结1.在直角坐标系下的面积问题注意：2.旋转体的体积3.平行截面面积为已知的立体的体积平面图形绕轴旋转一周而成的立体的体积平面图形绕轴旋转一周而成的立体的体积(掌握)(理解)求摆线的一拱与0=y所围成的x轴旋转构成旋转体的体积.解图形绕练习