定积分的应用

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1、《高等数学》上册教案第六章定积分的应用第六章定积分的应用§1、微元法（元素法）当时，连续且，则定积分的几何意义是曲边梯形的面积，即。由此可见，用定积分表示面积的关键在于写出微小面积的近似值；由于分割的任意性以及的任意性，微小面积记为，记为，并取，则微小面积可以近似的表为，记微小面积的近似值为~~面积微元（面积元素），这正好是积分表达式，。从而有。注：事实上，所取面积的近似值正是面积的微分，即就是用面积的微分作为面积微小量的近似值。如果所求量为，且满足：⑴对应于某个变量，如，且；⑵在时，具有可加性；则可以用下面的方法，得到的一个积分表达式。①选取积分变量，如，确定的变化范围

2、即；②，求出在上所求量的微小量的近似值，也称为的微元（微小量的近似值），即：；③，即：。以上方法的关键是得到所求量的微小量的近似值，即微元。§2、平面图形的面积一．在直角坐标系下设平面图形如右图所示，求此图形的面积。⑴所求面积视为变量的函数，则；⑵，对应的微小面积的近似值即面积微元；13《高等数学》上册教案第六章定积分的应用⑶例1．求曲线，所围成图形的面积。解：联立：，解的交点：、，且，或者直接利用推出的公式，此时，，，则注：如果求平面图形（右图）的面积，则⑴选取积分变量为，；⑵，对应细小横条的面积的近似值即面积微元为：⑶如果将上面例题中所求面积视为的函数，则⑴面积为变量

3、的函数，；⑵分别考虑：，对应的面积的近似值即面积微元⑶所求图形的面积为：。注：①积分变量的选择（或）可能直接影响到积分的计算；②公式，与定积分几何意义的结果一致。二．在极坐标系下13《高等数学》上册教案第六章定积分的应用设曲线的极坐标方程为：，。下图为曲边扇形。⑴积分变量，且；⑵，则；⑶。例2．求心脏线所围图形的面积（）。解：由对称性，只需求出图中阴影部分的面积即可。由图可知时，；时，；即。例3．求曲线以及内的公共部分的面积。解：由图形的对称性，只需考虑第一象限部分的面积。联立，解得；令，解得。从而三．曲线以参数方程表示时的平面图形的面积例4．求星形线，（）所围图形的面积

4、（）。解：由对称性，13《高等数学》上册教案第六章定积分的应用所求面积为：。例5．求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间的图形的面积。解：设切点，，过原点的切线：；由于，，解得切点：，则切线方程：；§3、体积一．平行截面面积已知的立体的体积某立体紧紧夹在过，且垂直于轴的两平面之间，且满足：，过点且垂直于轴平面与立体的截面面积已知；称这样的立体为~~平行截面面积已知的立体，求此立体的体积。⑴积分变量，⑵，则夹在垂直于轴的两平面、之间的部分可近似视为以为底，以为高的柱体的体积：；⑶。例1．求图中圆锥的体积。解：积分变量，，例2．求图中立体的体积。解：⑴积分变量

5、为，；垂直于轴的平行截面为直角三角形，其面积为：13《高等数学》上册教案第六章定积分的应用⑵积分变量为，；垂直于轴的平行截面为矩形，其面积为：。13《高等数学》上册教案第六章定积分的应用§3、体积二、旋转体的体积（特征：垂直于旋转轴的平行截面均为圆）1．设连续曲线方程为，且；将、、与轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周，求所得旋转体的体积。旋转轴是轴，则截面面积为：，其中是截面的圆的半径；从而，旋转体的体积为：2．若连续曲线为，，则、、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周，所得旋转体的体积为例2．曲线绕轴旋转一周，求旋转体的体积。解：，例3．求心形线与半射线，所围成的图形绕极轴旋转

6、的旋转体体积。解：如图所示，极点为原点，极轴为轴，则心形线的参数式方程为：注：若有连续曲线，且；将、、与直线所围成的曲边梯形绕直线旋转一周，所得旋转体的体积应为：。13《高等数学》上册教案第六章定积分的应用例5．求摆线（）与轴所围成的平面图形绕直线旋转所得的旋转体体积。解：所求旋转体体积为：。3．连续曲线，；将、、与轴围成的曲边梯形绕轴旋转一周，求旋转体的体积。⑴积分变量，；⑵，微小体积的近似值即体积微元：⑶例4．曲线（）与轴围成的图形绕轴旋转一周，求旋转体的体积。解：，，则或，则（）；（）；按照公式：，有13《高等数学》上册教案第六章定积分的应用§4、平面曲线的弧长设曲

7、线方程为：，，函数在上连续。⑴积分变量，；⑵，相应的弧长的微元为：即，恰好是弧长的微分。⑶；注：①若曲线方程为：，、连续且不同时为零，，则弧长计算公式为：；②曲线方程为：，，连续，则弧长计算公式为：例1．求心脏线的全长（）。解：，由公式例2．求曲线的全长。解：由条件，的定义域为：，从而曲线的全长为：例3．证明正弦曲线在一个周期内的长度等于椭圆的周长。证：椭圆的参数方程为：，，则13《高等数学》上册教案第六章定积分的应用证得：。注：的原函数不是初等函数，故不能用莱布尼兹公式来计算，这里只需要证明椭圆的周长的表达式与之相等即可。1