定积分的应用

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1、第七章　定积分的应用第一节　定积分的微元法第二节定积分在几何上的应用第三节定积分的物理应用举例第一节　定积分的微元法先回顾定积分的概念：定积分所要解决的问题是求一些非均匀分布的整体量．解决的方法是以下四个步骤（设整体量为）：一、“分割”：把所要求的整体量分割成许多部分量。这里先要选择一个被分割的变量和被分割的区间。二、“近似代替”：求任一小区间上的部分量的近似值，得。三、“求和”：得。四、“取极限”：得。实用中我们通常把上述四个步骤简化成以下的三步：一、“选变量”：选取某个变量（或等）作为被分割的变量，它就是积分

2、变量；并确定的变化范围，它就是被分割的区间，也就是积分区间。二、“求微元”：设想把区间分成个小区间，其中任意一个小区间用表示，小区间的长度，所求的量对应于小区间的部分量记作。并取，求出部分量的近似值。注：近似值称为整体量的微元（或元素），记作，即。这里须指出，作为的近似值，即应满足：。三、“列积分”：以整体量的微元为被积表达式，在上积分，即得所求量。上述把某个量表达为定积分的方法称为定积分的微元法（或元素法）。第二节　定积分在几何上的应用一．平面图形的面积1．直角坐标情形一般地在直角坐标系下，我们可用定积分的微元

3、法求得下列平面图形的面积。(1)．曲线及轴所围图形（图7-1）的面积微元，而面积。……………………..①(2)．由上、下两条曲线及所围成的图形（图7-2）的面积微元。而面积。……………………②(3)．由左、右两条曲线()及所围图形（图7-3）的面积微元，而面积。…………………..③例1求由抛物线与直线围成的图形的面积。解（1）画出图形简图（图7-4），求曲线交点以定积分区间：联立两曲线方程：，解出它们的交点，。（2）选择积分变量，写出面积微元：本题选择积分变量为横坐标，积分区间为，面积微元。（3）将面积表示成定积

4、分，并计算：所围图形面积为。例2求及所围成的图形面积。解作图(图7-5)。求出交点坐标为；取为积分变量，积分区间为，则，，从而。(4)．曲边梯形的曲边由参数方程给出的情形：如果曲边梯形的曲边由参数方程给出，其中当到时，参数相应地从变到，而连续，且恒有（），则曲边梯形面积为：。………………………………..④这里与分别是曲边的两个端点所对应的参数值。例3计算椭圆的面积。解由于椭圆关于两坐标轴对称（图7-6），所以，其中是椭圆位于第一象限部分的面积。椭圆的参数方程为，且当时，；时，。按公式④，得所求面积为：。2．极坐标

5、情形设由平面曲线（）及两条射线围成一平面图形（图7-7），这种图形称为“曲边扇形”。下面推导在极坐标系下“曲边扇形”的面积公式。取为积分变量，其变化区间为。于微小区间上，以小圆扇形面积（图7-7中的阴影部分）作为小曲边扇形面积的近似值，得面积微元为：。再积分，便得所求的曲边扇形面积为：………………….⑤例4求双纽线所围成的图形面积（图7-8）。解由图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，然后再4倍即可。在第一象限的变化范围为，于是由公式⑤即得所求图形的面积为：。例5求心形线及圆所围成的阴影部分面积（图7-9）。

6、解先求两线交点，以确定的变化范围，解方程组，得。由图形的对称性，得所求面积为：二．体积1．平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积。对于一个空间立体，不妨设它与轴线轴相垂直的平面的截面面积（）是一已知的连续函数，如图7-10，则可求得该立体介于和之间的体积。在微小区间上视不变，得体积微元，再对在上积分，则得体积公式：………………………..⑥例6设有底圆半径为的圆柱，被一与圆柱地底面交成角且过底圆直径的平面所截，求截下的楔形体积(图7-11)。解取坐标系如图

7、，则底圆方程为：。取为积分变量，其变化区间为。在的任一点处垂直于轴作立体的截面，得一直角三角形，两条直角边分别为及，即及。此直角三角形面积为，从而根据公式⑥，即得楔形体积为：。2．旋转体体积旋转体是由某平面内的一个图形绕该平面内的一条定直线旋转一周而成的立体，这条定直线称为旋转体的轴。设一旋转体是由连续曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转而成(图7-12)，下面来求它的体积。这时截面面积是圆面积，。在的变化区间上积分，得旋转体体积为：………………………………………….⑦类似地，由曲线和直线及轴所围成的曲边梯形绕

8、轴旋转，所得旋转体体积(图7-13)为：………………………⑧例7求由椭圆所围成的图形绕轴旋转而成的旋转椭球体体积(图7-14)。解旋转椭球体可看作由上半椭圆及轴围成的图形绕轴旋转而成的，于是由公式⑦可得所求体积为：。例8求圆绕轴旋转一周所成的旋转体(环体)的体积(图7-15)。解将圆方程改写为，右半圆弧方程为，左半圆弧方程为，环体是这两个半圆在轴的区间上所围成的曲边梯形绕