定积分的概念62定积分应用

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1、6.1定积分的概念第6章定积分及其应用二.定积分的定义一.曲边梯形的面积三.定积分的性质6.1定积分的概念在我国古代南北朝（公元429—500年）时，南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积，得到了π近似值.在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得到任意多边形的面积。阿基米德运用这种方法，求得抛物线与x轴及直线x=1所围成的平面图形面积的近似值.就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将它划分为若干个容易算得面积

2、的小块，并分别求出各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）.如果在上述方法中引入极限过程,会产生什么效果?6.1.1曲边梯形的面积曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）.1.曲边梯形2.求曲边梯形的面积首先，我们重复阿基米德的做法：分划—代替—求和得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精确值.第一步：分划任意引入分点称为区间的一个分法T第二步：代替对每个小曲边梯形均作上述的代替

3、第三步：求和第四步：取极限6.1.2定积分的定义任意引入分点定积分符号：关于定积分定义的几点说明例6.1.1解所以定理16.1.3定积分存在的条件定理2定理3定理46.1.4定积分的几何意义由极限保号性：面积：例6.1.2（见教材）6.2定积分的性质由于定积分是一种和式的极限,所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.在以下的叙述中,假设所出现的函数均可积,所出现的定积分均存在.证由定积分定义及极限运算性质：可以推广至有限个可积函数的情形.证证(小于零的情形类似.)由极限的保号性立即可知.代数和例1证//有什么结论？换成例2证/与性质3的推论1

4、不同，这里的结论是严格不等号！证所以例4证例6.2.2解而所以例6.2.3解证例5解由积分中值定理