定积分概念及应用

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1、第六章定积分的概念及应用第一节定积分的概念第二节平面图形的面积第三节体积数学分析电子教案西电科大第四节平面曲线弧长第五节功、水压力和引力第六节平均值习题课数学分析电子教案西电科大例1求曲边梯形的面积一、问题的提出（引例）中学学习过：三角形，圆形，矩形，平行四边形，梯形等规则图形面积的计算。那么不规则图形的面积怎么来求呢?下面将介绍任一图形面积的计算方法，例如：第一节定积分的概念XAababA2ab曲边梯形（三条直边，一条曲边）0y面积A=A1-A2故问题为求出两个曲边梯形的面积如何去求曲边梯形的面积呢？下面将展开讨论：1第一节定积分的概念设一曲边梯形由直线x=a,x=b,y=0及曲线解

2、：step1：分割在[a,b]中任意插入n-1个分点把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi](i=1~n)区间长度为(i=1~n)所围成，求面积A,其中f(x)在[a,b]上连续。step2:近似step3:求和第一节定积分的概念step4:取极限第一节定积分的概念用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．第一节定积分的概念例2（求变速直线运动的路程）思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．第一节定积分的概念（1）分割部分路程值某时刻的速度（2

3、）求和（3）取极限路程的精确值第一节定积分的概念上面两例可以看出：两个不同问题所求的量，采用了同样的计算方法，最终都归结为具有相同结构的和式极限。抛开这些问题的具体意义，在数学上就抽象出定积分的概念。第一节定积分的概念二、定积分的定义定义第一节定积分的概念被积函数被积表达式积分变量记为积分上限积分下限积分和积分符号第一节定积分的概念注意：由定积分定义，例1，例2分别为：1。极限存在指：任意分割，任一取点，和式极限存在且相等。2。定积分是个数，与积分变量的符号无关，即3。规定：4。错误！为什么？第一节定积分的概念定理1定理2三、存在定理且只有有限个间断点（第一类间断点），第一节定积分的概

4、念曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值四、定积分的几何意义曲边梯形面积的代数和如图：第一节定积分的概念五、小结练习１．定积分的实质：特殊和式的极限．２．定积分的思想和方法：分割化整为零求和积零为整取极限精确值——定积分求乘积近似代替第一节定积分的概念练习例1解：由几何意义例2计算：计算：解：如图第一节定积分的概念例3利用定义计算解：1。将[0，1]n等分，2。3。求和4。即第一节定积分的概念例4解：第一节定积分的概念一.直角坐标系情况所围图形面积，如图:解:1。画图，求出交点；2。选积分变量，3。4。特别的:曲边梯形面积第二节平面图形的面积第二节平面图形的面积例1.解:画图，求得交点(-

5、1,1)及(3,9)例2.解:画图，求得交点(2,-2)及(8,4)选ｙ为积分变量，则问:若选x为积分变量如何？第二节平面图形的面积二.参数方程情况例3.解:由对称性一般的，第二节平面图形的面积例4.解:第二节平面图形的面积三.极坐标情况解:1。2。3。第二节平面图形的面积例5.解:另解:第二节平面图形的面积一.旋转体的体积定义:由一个平面图形绕平面内一条直线旋转一周而成的立体，叫旋转体。第三节体积第三节体积以上旋转体的体积在中学已经会计算，下面讨论一般的旋转体的体积。例1.解:1。2。3。下面将结论推广:第三节体积如图:类似的，若旋转体是曲边梯形绕y轴旋转而成的y=f(x)y=g(x

6、)第三节体积例2.解:(1)绕x轴(2)绕y轴第三节体积例3.解:(1)绕x轴旋转第三节体积(2)绕y轴旋转第三节体积(2)绕y=2a旋转所求体积即是中间喇叭状的体积第三节体积二.平行截面面积为已知的立体体积如图，解:1。2。3。第三节体积例4.解:建立坐标如图，第三节体积定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和推动的。因此定级分得应用页非常广泛。本章主要介绍几何上，物理上实际问题的应用，例如：计算平面图形面积，曲线弧长，旋转体体积，引力，做功等。基本思想：实际问题所求量Q转化为求Q=(积分模型)转化方法：元素法（或微元法），即从局部到整体微元法为了说明小元素法，我们先来回顾一下曲边

7、梯形面积转化为定积分的计算过程。step1.分割：任意划分[a,b]为n个小区间step2.近似：第一节定积分的元素法(或微元法)微元法step3.求和：step4.取极限：分析：在上述问题注意到:所求量(即面积)A满足：1。与区间[a,b]及[a,b]上连续函数f(x)有关;2。对[a,b]具有可加性，3。实际上，引出A的积分表达式的关键步骤是第二步，因此求解可简化如下：微元法step1:选取积分变量及积分区间（如x属于[a,b]）step2