定积分的概念及其应用(吴静)

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1、康4斫筵?§7电CesfianT^cactiersCollege本科生毕业论丈（设计丿（院）数醪鸟信息科醪醪院专业数醪鸟拓用数醪裕夂軀同定积分的概念及其应用修笛壮名昊初指專教师冯志鋼（副教敘丿班级07級敎盜2班禽号07128020完就日鄭：二0—一耳四月定积分的概念及其应用吴静数学与信息科学学院数学与应用数学专业2007级07128020【摘要】：定积分是高等数学的重要概念之一，是一种实用性很强的数学方法。无论是在理论还是实际中都用广泛的应用。本文研究的主要内容是定积分的概念以及在几何，物理，经济领域的应用。首先讨论什么是定积

2、分，即定积分的定义及其性质。第二，谈谈定积分在数学计算,物理，经济等几个方面的应用，进一步的说明定积分的作用是非常强大的。【关键词】：定积分极限微分1、引言积分是从各种各样的积累屮抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。这种特定结构的和式的极限，不仅是计算区域面积或度量儿何体的数学工具，而R是计算许多实际问题的重要工具。我们可以应用定积分来计算一些常见的几何量和物理量，在经济学和其他方面也有很多的应用实例。用定积分计算一个量的关键是把所求量表达为定积分。严格地说，应该按照定积分的定义，通过仔细讨论与所求量对应的积

3、分和式的极限，来推导出积分表达式。2、定积分的定义定义1设闭区间［a,b］±有斤_1个点，依次为a=xQ

4、

5、T

6、

7、,i=l,2,…，n,I大I此卩

8、

9、可用來反映bb］被分割的细密程度，另外，分割T一旦给岀，

10、卩

11、

12、就随之而确定；但

13、是，具有同一细度

14、卩

15、

16、的分割T却有无限多个。定义2设.f是定义在［a,b］.上的一个函数，对于［a,b］的一个分割T二｛△「A2,•••Aj,任取点§wi二1，2,…，n,并作和式工/忆）心，。称此和式为函数/在8,b］上的一个积分和，也称黎曼和。显然，积分和既与分割T有关，乂与所选取的点集｛岳｝有关。定义3设/是定义在［a,b］上的一个函数，J是一个确定的实数。若对任给的正数总存在某一正数》，使得XJla,b］的任何分割T,以及在其上任意选取的点集｛《•｝，只有卩

17、

18、〈力’就有工/（即心厂丿<£则称函数f在区间［a,b］上

19、可积或黎曼可积；数J称为/在［a,b］上的定积分或黎曼积分，记作其中，/称为被积函数，兀称为积分变量，［a,b］称为积分区间，a>b分别称为这个定积分的上限和下限。以上定义1至定义3是定积分抽象概念的完整叙述，下面是与定积分概念有关的几点补充注释。注1把定积分定义的£—/说法和函数极限的£—5说法相对照，便会发现两者有相似的陈述方式，因此我们也常用极限符号來表达定积分，即把它写作然而，积分和的极限与函数的极限Z间其实冇看很大的区别；在函数极限lirn/(x)x->a中，对每一个极限变量兀来说，门兀)的值是唯一确定；而对于积分和

20、的极限而言，每一个卩

21、

22、并不是唯一对应积分和的一个值。这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂很多。注2*吧£f(0二j中的j值与分法及&的取值无关。/=1注3［f(x)dx是一个确定的常数，它取决于［a,b］的长短及被积函数/(x)o注4定积分作为积分和的极限，它的值只与被积函数/•和积分区间［ei,b］有关，而与积分变量所用的符号无关，即ffMd^=fffMdu3、定积分存在定理定理1若函数于为区间［a,b］一上的连续函数，则于在［a,b］上连续。定理2若函数/在区间［q,列上有界，且只有有限个间断点，则/在［a,b］上可

23、积。定理3若函数于为区间［a,b］±的单调函数，则/在［a,b］上可积。4、定积分的几何意义对于［a,b］上的连续函数/,当f(x)>0时，xe［a,b］时，定积分的的几何意义是：由直线兀兀二"，/(兀)的图像及x轴所围成的曲边梯形的而积。当/(X)<0吋，xE［a,b］吋，这是丿f(x)dx是位于x轴下方的曲边梯形面积的相反数，可称为“负面积”，利用这个几何意义就口J以解决一些平面几何所不能解决的曲边形的面积问题。5、定积分的性质在下面的讨论中,假设/(兀)和g⑴都在区间[a,b]上连续,从而它们都在[a,b]±可积。由丁•

24、定积分是特殊和式的极限，因此运用极限的结论可以证明下列定积分的相关性质。性质1函数的代数和的定积分等于他们的定积分的代数和，即£[/(%)±g(x)]dx=£[/(x)]^±f[gO)]dx性质2被积函数的常数因了可以提到积分号外面，即^kf(x)dx=k^f(x)dx性质3