专题——定积分及其应用

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1、专题——定积分及其应用5.1定积分的概念与性质定积分无论在理论上还是实际应用上，都有着十分重要的意义，它是整个高等数学最重要的内容之一.5.1.1实例分析1.曲边梯形的面积在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积,至于任意曲边所围成的平面图形的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决.所谓曲边梯形,就是在直角坐标系中,由直线及曲线所围成的图形，如图5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形.aoxaobxyaobxbyy(a)(b)(c)图5.1现在求时，在连续区间44上围成的曲边梯形的面积A（如图5.1(a

2、),(b)所示），用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积，我们按下述步骤来计算：(1)分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形在区间内任意插入个分点：，把区间分成个小区间：，第个小区间的长度为，过每个分点作垂直于轴的直线段，它们把曲边梯形分成个小曲边梯形（图5.2），小曲边梯形的面积记为.oxy图5.2(2)近似——用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积在小区间上任取一点，作以为底，为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，则.(3)求和——求个小矩形面积之和个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和，即44.(4)取极限令，当分点无

3、限增多且时，和式的极限便是曲边梯形的面积A，即.2．变速直线运动的路程设一物体作变速直线运动，其速度是时间的连续函数，求物体在时刻到间所经过的路程.我们知道，匀速直线运动的路程公式是：，现设物体运动的速度是随时间的变化而连续变化的，不能直接用此公式计算路程，而采用以下方法计算：(1)分割——把整个运动时间分成个时间段在时间间隔内任意插入个分点：，把分成个小区间：，第个小区间的长度为第个时间段内对应的路程记作.(2)近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程在小区间上任取一点,用速度近似代替物体在时间上各个时刻

4、的速度，则有.(3)求和——求个小时间段路程之和44将所有这些近似值求和，得到总路程的近似值，即.(4)取极限令，当分点的个数无限增多且时，和式的极限便是所求的路程.即从上面两个实例可以看出，虽然二者的实际意义不同，但是解决问题的方法却是相同的，即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法，最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似这样的实际问题还有很多，我们抛开实际问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质特征，从数学的结构加以研究，就引出了定积分的概念.5.1.2定积分的概念定义5.1设函数在区间上有定义，任取分点把区间任意分割成

5、个小区间，第个小区间的长度为，记.在每个小区间上任取一点作和式，当时，若极限存在（这个极限值与区间的分法及点的取法无关），则称函数在44上可积，并称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即.其中，“”称为被积函数，“”称为被积表达式，称为积分变量，称为积分下限，称为积分上限，称为积分区间.根据定积分的定义，前面所讨论的两个实例可分别叙述为：①曲边梯形的面积是曲线在区间上的定积分.().②变速直线运动的物体所走过的路程等于速度函数在时间间隔上的定积分..关于定积分的定义作以下几点说明：⑴闭区间上的连续函数是可积的；闭区间上只有有限个间断

6、点的有界函数也是可积的.⑵定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数和积分区间，而与积分变量使用的字母的选取无关，即有.⑶在定积分的定义中，有，为了今后计算方便，我们规定：.容易得到.5.1.3定积分的几何意义设是上的连续函数，由曲线及直线所围成的44曲边梯形的面积记为.由定积分的定义及5.1.1实例1，容易知道定积分有如下几何意义：（1）当时，（2）当时，（3）如果在上有时取正值，有时取负值时，那么以为底边，以曲线为曲边的曲边梯形可分成几个部分，使得每一部分都位于轴的上方或下方.这时定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和，

7、如图5.3所示，有其中分别是图5.3中三部分曲边梯形的面积，它们都是正数.例5.1.1利用定积分的几何意义，证明.证令，显然，则由和直线，所围成的曲边梯形是单位圆位于44轴上方的半圆.如图5.4所示.因为单位圆的面积，所以半圆的面积为.由定积分的几何意义知：.5.1.4定积分的性质由定积分的定义，直接求定积分的值，往往比较复杂，但易推证定积分具有下述性质，其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的.性质5.1.1被积表达式中的常数因子可以提到积分号前，即.性质5.1.2两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和，即.这一结论可以推广

8、到任意有限多个函数代数和的情形.性质5.1.3（积分的可加性）对任意的点，有.注意的任意性意味着不论是在之内，还是在之外，这一性质均成立.性质5.1.4如果被积函数为常数),则.特别地,当时,有.性质5.1.5（积分的保