定积分的应用

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1、第六章定积分的应用1、理解定积分的定义和定积分的存在定理；2、熟悉定积分的基本性质——对区间的可加性、线性性质、比较性质和定积分的中值定理（包括积分均值）；3、理解积分上限的函数的积分性质及其导数，熟悉微积分学基本定理；4、熟悉牛顿一莱布尼兹公式，掌握定积分的换元积分法和分部积分法；5、了解两种广义积分（无界函数的广义积分、无穷区间上的广义积分）的概念及其敛散性定义，会计算广义积分；6、了解定积分的近似计算方法（梯形法和抛物线法）；基本要求我们已经利用定积分解决一些应用问题的计算,如：变力沿直线所做的功已知质点的

2、运动速度，求质点的运动路程曲边梯形的面积面积元素abxyo第一节定积分的元素法用定积分来计算的量U具有以下特点：量U与函数f(x)及x的变化区间[a,b]有关。若f(x)≡常数，则U=f(x)(b－a)。量U对区间具有可加性。即：把［a，b］分成若干部分区间，则U相应地被分成了许多部分量之和。在区间[a,b]的任一个子区间[x,x+Δx]上，部分量ΔU≈f(x)Δx。设U是可用定积分表达的量，则计算量U的步骤为：定积分的元素法选择函数f(x)，并确定自变量x的变化区间[a,b];在[a,b]内考虑典型小区间[x,

3、x+dx]，求出相应于这个小区间的部分量ΔU的近似值f(x)dx。称f(x)dx为量U的元素，记为dU=f(x)dx。计算U=应用方向：平面图形的面积、体积及平面曲线的弧长；功、水压力、引力和平均值等．第二节定积分的几何应用一、平面图形的面积直角坐标系情形极坐标系情形曲边梯形的面积曲边梯形的面积一、平面图形的面积1、直角坐标系情形解两曲线的交点面积元素选为积分变量解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积解两曲线的交点选为积分变量如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象

4、限部分面积．面积元素曲边扇形的面积在[,]中取典型小区间[,+d]，小曲边扇形的面积近似为dA=r2()d.2、极坐标系情形解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解利用对称性知例7求r=asin3所围的面积。解这是三叶玫瑰线，由sin3≥0，有由对称性求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）小结思考AD3、解答xyo两边同时对求导积分得所以所求曲线为二、体积旋转体的体积已知平行截面面积的立体体积旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一

5、条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1、旋转体的体积xyo旋转体的体积为解直线方程为解解补充利用这个公式，可知上例中解体积元素为2、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积思考题思考题解答交点立体体积例：求由绕x轴旋转一周，所成的圆环体的体积。解：xyo