定积分的元素定积分在几何上应用课件.ppt

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1、第六章定积分的应用第一节定积分的元素法第二节定积分在几何学上的应用上册P272回顾曲边梯形求面积的问题abxyo第一节定积分的元素法面积表示为定积分的步骤如下:（3）求和，得A的近似值n（1）把区间],[ba分成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形的面积为（近似替代）（分割）提示（4）求极限，得A的精确值abxyo面积元素通常元素法的一般步骤：元素这个方法通常叫做元素法(也称微元法)．应用：求平面图形的面积、体积、平面曲线的弧长.、功、引力等．微元法的实质是什么？微元法的实质仍是“和式”的极限.即为所求量U的积分表达式.第二节定积分在几何学上的应用一、平面图

2、形的面积二、旋转体的体积四、小结1.直角坐标系情形2.极坐标系情形三、平行截面面积为已知的立体的体积曲边梯形的面积一、平面图形的面积xyo1.直角坐标系情形面积元素：解:两曲线的交点面积元素:选为积分变量解:两曲线的交点选为积分变量于是所求面积注意:各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？(也可以选y)解：两曲线的交点选为积分变量例4.解：由上述公式得0xy-12解：椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．0xX+dxab当a=b时，即为圆的面积公式：P253公式曲边梯形的曲边为参数方程：曲边梯形的面积:或者用公式：（1）极坐标系的定义：在平面内由极点、极轴和极径组

3、成的坐标系称之.在平面上取定一点O，称为极点.从O出发引一条射线Ox，称为极轴.再取定一个长度单位，通常规定角度取逆时针方向为正.2.极坐标系情形xo极点极轴极径极角极坐标平面上的点M和极坐标P（ρ，θ）之间当限制ρ≥0，0≤θ＜2π或时，平面上除极点Ο以外，其他每一点都有唯一的一个极坐标。极点的极径为零，极角任意.一一对应关系ρ称为P点的极径，θ称为P点的极角.这样，平面上任一点P的位置就可以用线段OP的长度ρ以及从Ox到OP的角度θ来确定.有序数对（ρ，θ）就称为P点的极坐标,记为P（ρ，θ）.ox平面上的点M和极坐标P（ρ，θ）一一对应.由定义可知：一点的极径ρ表示点到极点的距离，是个非

4、负的值，有时为了研究问题的需要，极径还ρ可取负值。oxX0yxy极坐标与直角坐标的关系(2）极坐标和直角坐标互化把直角坐标中的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴。与直角坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系。P284—习题6-2（练习和思考-作业）2.求由下列各组曲线围成的图形的面积oxy0xy0xy110xy6.求由摆线布置作业P284习题6-22.(1)（3）；6.