定积分在几何上的应用(II)

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1、第六章二、立体体积三、平面曲线的弧长一、平面图形的面积第二节机动目录上页下页返回结束定积分在几何上的应用一、平面图形的面积曲边梯形的面积曲边梯形的面积1.直角坐标系情形机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束xo机动目录上页下页返回结束解两曲线的交点选为积分变量机动目录上页下页返回结束解两曲线的交点选为积分变量机动目录上页下页返回结束解两曲线的交点选为积分变量机动目录上页下页返回结束如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积2.参数方程的情形机动目录上页下页返回结束解椭圆的参数方程由对称性知总面积

2、等于4倍第一象限部分面积．机动目录上页下页返回结束例5.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:机动目录上页下页返回结束面积元素曲边扇形的面积3.极坐标系情形机动目录上页下页返回结束解由对称性知总面积等于第一象限部分面积的4倍机动目录上页下页返回结束0xyPr...........曲线在极点自己相交，与此对应的角度为=.....距离之积为a2的点的轨迹直角系方程双纽线解利用对称性知机动目录上页下页返回结束心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点动画开始或暂停尖点:面积:弧长:参数的几何意义机动目录上

3、页下页返回结束对应从0变例8.计算阿基米德螺线解:点击图片任意处播放开始或暂停机动目录上页下页返回结束到2所围图形面积.xyo例9.2..S==1+cos3r=3cos由3cos=1+cos得交点的坐标S2...机动目录上页下页返回结束....例1010xy令cos2=0,由sin>0,联立后得交点坐标...[S=2].机动目录上页下页返回结束xyo例111s1s2.....sS==1+cos机动目录上页下页返回结束求由双纽线0xy....由对称性.例12a内部的面积。双纽线化成极

4、坐标令r=0,S=4+.机动目录上页下页返回结束旋转体就是由一个平面图形绕这个平面内一条直线旋转一周而成的立体．这条直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台二、立体体积1.旋转体的体积机动目录上页下页返回结束xyo旋转体的体积为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解机动目录上页下页返回结束绕y轴旋转机动目录上页下页返回结束星形线星形线是内摆线的一种.点击图片任意处播放开始或暂停大圆半径R＝a小圆半径参数的几何意义(当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的定点的轨迹为是内摆线)解机动目录上页下页返回结束解机动目录

5、上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束解直线方程为机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束例17.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)机动目录上页下页返回结束方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积机动目录上页下页返回结束abf(x)yx0求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴xdx机动目录上页下页返回结束xabyx0内表面积.dx.求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=

6、b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)机动目录上页下页返回结束byx0a.求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)机动目录上页下页返回结束byx0a.求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)机动目录上页下页返回结束0y0xbxadx.求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)机动目录上页下页返回结束f(x)Yx0b

7、dx0yz.a.曲边梯形y=f(x),x=a,x=b,y=0绕y轴求旋转体体积—柱壳法dV=2xf(x)dx机动目录上页下页返回结束曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为：2.曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕直线x=t旋转一周所得旋转体的体积为：说明：例18.设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证:利用柱壳法则机动目录上页下页返回结束故证明:例19.求曲线与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.(94考研)

8、解:利用对称性,故旋转体体积为在第一象限机动目录上页下页返回结束如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积2.已知平行截面求立体的体积机动目录上页下页返回结束解1取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积机动目录上页下页返回结束解2垂直于轴的截面为矩形截面面积立体体积机动目录上页下页返回结束半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的平面所截，得一圆柱