定积分在几何上的应用(VIII)

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1、第六章定积分的应用第二节定积分的几何应用xyo曲边梯形的面积曲边梯形的面积平面图形面积图形区域为：情形1：［X－型］:垂直于x轴的直线穿过区域，与边界最多交两点，上下交点始终在固定曲线上,且区域被夹在两直线中间.则面积图形区域为：［Y－型］:穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点，左右交点始终在固定曲线上，且区域被夹在两直线中间.情形2：则面积若图形区域如图，既不是X-型，又不是Y-型利用面积可加性则必须分割.情形3：例1计算由和所围成的图形的面积.例3计算由曲线和所围成的图形的面积.xyo3–3l1l2例4参数方程情形如果曲边梯

2、形的曲边表达为参数方程:其中,在上具有连续导数,连续.则曲边梯形的面积可表达为其中和对应曲线起点与终点的参数值.例5求椭圆的面积.xa圆上任一点所画出的曲线。介绍：旋轮线（摆线）一圆沿直线无滑动地滚动，2a2a0yxax=a(t–sint)y=a(1–cost)t的几何意义如图示ta当t从02，x从02a即曲线走了一拱a.0xyx+y+a=0曲线关于y=x对称曲线有渐近线x+y+a=0.狄卡儿叶形线xyoa–a一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。介绍：星形线xyoa–a一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任

3、一点所画出的曲线。来看动点的慢动作.星形线xyoa–a02或.P.一圆沿另一圆内缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.星形线()do+dr=()元素法1取极角为积分变量，其变化区间为[,]以圆扇形面积近似小曲边扇形面积，得到面积元素：dSS3作定积分r极坐标系情形xyoaa一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。介绍：心形线xyoa一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.心形线axyoaa2a一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.心形线

4、xyo2ar=a(1+cos)020r2aPr一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。.心形线0xyPr.距离之积为a2的点的轨迹直角系方程双纽线0rr=a曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线阿基米德螺线0r曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线.阿基米德螺线r=a0r曲线可以看作这种点的轨迹：动点在射线上作等速运动同时此射线又绕极点作等速转动从极点射出半射线请问：动点的轨迹什么样？.阿基米德螺线

5、r=ar这里从0+8r=a02a每两个螺形卷间沿射线的距离是定数.阿基米德螺线0r8当从0–r=a.阿基米德螺线r0.这里从0+8a..双曲螺线r0.当从0–8a.双曲螺线例6求双纽线所围平面图形的面积.例7求心形线所围平面图形的面积xyo2=1+cos3r=3cosS例8....10xy....例9求由双纽线0xya内部的面积。例10旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1旋转体的体积空间立体的体积xf(x)ab曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕x

6、轴旋转求旋转体体积xf(x)abx..曲边梯形：y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕x轴旋转求旋转体体积V=x+dx例1连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形.将它绕轴旋转构成一个半径为高为的圆锥体,计算圆锥体的体积.例2计算则由椭圆围成的平面图形绕轴旋转而成的旋转椭球体的体积.例3求星形线所围的图形绕轴旋转而成的旋转体的体积.例4abf(x)yx0求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴xdxxabyx0内表面积.dx.曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)

7、求旋转体体积—柱壳法byx0a.曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)byx0a.曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)0y0xbxadx.曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)f(x)Yx0bdx0yz.a.曲边梯形y=f(x)，x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxx=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴求旋转体体积x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=

8、0,y=c,y=d绕y轴.求旋转体体积x=g(y)yx0cdy....曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴例5所围的图形