定积分在几何上的应用(IV)

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1、1§5定积分在几何上的应用一、元素法二、平面图形的面积三、体积四、光滑曲线的弧长上一页下一页2一、元素法1.能用定积分表示的量Q所必须具备的三个特征：(1)Q是与一个变量x的变化区间[a,b]有关的量;(2)Q对于区间[a,b]具有可加性.即如果把区[a,b]分成若干个子区间,则Q等于各子区间上部分量的总和.(3)部分量的近似值可表示为2.微元分析法用定积分表示量Q的基本步骤:上一页下一页3(1)根据问题的具体情况,选取一个变量例如x为积分变量,并确定其变化区间[a,b];(2)在区间[a,b]内任取一个小区间,求出相应于这个小区间的部分量

2、的近似值.如果能近似地表示为[a,b]上的一个连续函数在处的值与的乘积,就把称为量Q的微元且记作,即(3)以所求量Q的微元为被积表达式,在区间[a,b]上作定积分,得上一页下一页4二、平面图形的面积1、直角坐标情形分两种情况：1°设函数在区间为连续函数且则所围阴影面积有：(如图）面积元素面积上一页下一页52°设函数在区间则所围阴影面积有面积元素：面积为连续函数且（如图）上一页下一页6例1求由所围图形面积.解两曲线的交点为(2,-2)及(8,4).根据此图形特点,可以选择y作为积分变量,其变化区间为[-2,4].yx(2,-2)(8,4)图形

3、的面积微元为:从而可得图形面积上一页下一页7如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积一般地：上一页下一页8解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．上一页下一页91.曲边扇形其中r()在[,]上连续,且r()0.相应于[,+d]的面积微元为则图形面积为or=r()设图形由曲线r=r()及射线=,=所围成.取为积分变量,其变化区间为[,],2、极坐标情形上一页下一页102.一般图形及射线=,=所围图形的面积微元为则面积为o由曲线上一页下一页11解利用对称性知上一页下一页12点x且垂直

4、于x轴的截面面积.体积微元为dV=A(x)dx,则体积为（如图）abx取x为积分变量,其变化范围为[a,b].设立体介于x=a,x=b之间,A(x)表示过三、体积1、平行截面面积为已知的立体的体积上一页下一页13解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积上一页下一页14立体称为旋转体.则如前所述,可求得截面面积则平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的设旋转体由如图的曲边梯形绕x轴形成.yxaby=f(x)ox2、旋转体的体积上一页下一页15同理,如旋转体由如图的曲边梯形绕y轴形成.ycoxdx=(y)例5求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆

5、锥体的体积.解可求得过点O及P(h,r)的直线方程为由公式得yoxP(h,r)则体积为上一页下一页16例6求圆心在(b,0),半径为a(b>a)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积.yxoba解圆的方程为,则所求体积可视为曲边梯形绕y轴旋转而成的旋转体的体积之差.分别与直线y=-a,y=a及y轴所围成的则上一页下一页17(1)设光滑曲线方程:可用相应的切线段近似代替.即则弧长微元(弧微分)故弧长为oyxdyabdxy=f(x)取x积分变量,变化区间为[a,b].[a,b]内任意小区间[x,x+dx]的一段弧长四、光滑曲线的弧长上一页下一页18(

6、2)若曲线方程由参数方程:弧长微元则如前所述,(3)若曲线方程由极坐标方程:r=r()().表示则上一页下一页19解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长上一页下一页20解上一页下一页