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《定积分在几何上的应用.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?表示为一、什么问题可以用定积分解决?1)所求量U是与区间[a,b]上的某函数f(x)有关的2)U对区间[a,b]具有可加性,即可通过“分割,近似,求和,取极限”定积分定义一个整体量;二、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法成为元素法(或微元法)近似值精确值四、旋转体的侧面积三、已知平行截面面积函数的立体体积一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长定积分在几何
2、学上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,右图所示图形面积为例1.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则有例2.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式例3.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为对应从0变例4.计算阿基米德螺线解:到2所围图形面积.例5.计算心形
3、线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,所求面积二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):例6.求连续曲线段解:的弧长.例7.计算摆线一拱的弧长.解:三、已知平行截面面积函数的立体体积设所
4、给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有柱壳体积说明:柱面面积（以摆线为例）例8.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.四、旋转体的侧面积设平面光滑曲线求积分后得旋转体的侧面积它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:侧面积元素的线性主
5、部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的注意:侧面积为例9.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:对曲线弧应用公式得当球台高h＝2R时,得球的表面积公式例10.求由星形线一周所得的旋转体的表面积S.解:利用对称性绕x轴旋转内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小3.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕x轴:4.旋转体的侧面积侧面积元
6、素为(注意在不同坐标系下ds的表达式)绕y轴:(柱壳法)
