定积分在几何学上的应用(VIII)

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1、三、已知平行截面面积函数的立体体积一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长§6.2定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,右下图所示图形面积为例1.计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:由得交点例2.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则有例3.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式一般地,当曲边梯形的曲边由参数方程给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值则曲边梯形面积例4.

2、求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.解:2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:点击图片任意处播放开始或暂停到2所围图形面积.例6.计算心形线所围图形的面积.解:(利用对称性)心形线(外摆线的一种)即点击图中任意点动画开始或暂停尖点:面积:弧长:参数的几何意义二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可

3、求长的.定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.(证明略)则称(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长(3)曲线弧由极坐标方程给出:因此所求弧长则得弧长元素(弧微分):(自己验证)例7.计算摆线一拱的弧长.解:例8.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,特别,当考虑连续曲线段轴旋转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y

4、轴旋转一周围成的立体体积时,有例9.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积例10.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为利用对称性绕y轴旋转而成的体积为注意上下限!注分部积分注(利用“偶倍奇零”)例11.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得

5、立体的体积.思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:例12.求曲线与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.解:利用对称性,故旋转体体积为在第一象限内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程方程极坐标方程弧微分:直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小3.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕x轴:绕y轴: