定积分在几何学上的应用(VI)

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1、【教育类精品资料】7/18/20211§6.4定积分的应用第六章（ApplicationsofDefiniteIntegral）二、定积分在几何学上的应用一、定积分的元素法三、思考与练习7/18/20212一、定积分的元素法1.什么问题可以用定积分解决?表示为1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的2)U关于区间[a,b]具有可加性,即可通过“大化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义一个整体量;7/18/20213第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步利用“积零为

2、整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法称为元素法(或微元法)元素的几何形状常取为:条、带、段、环、片、壳等近似值精确值2.如何应用定积分解决问题?7/18/20214定积分在几何学上的应用1.平面图形的面积7/18/202157/18/202167/18/20217解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式例3求椭圆7/18/20218设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,2.平行截面面

3、积为已知的立体的体积7/18/20219轴旋转一周围成的立体体积时,特别地,当考虑连续曲线段有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有7/18/202110所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:（方法1）利用直角坐标方程则(利用对称性)例4计算由椭圆7/18/202111内容小结1.掌握定积分的元素法，并会应用元素法来解决一些几何方面的问题。2.定积分几何学上的应用（1）平面图形面积（直角坐标系）（2）平行截面面积为已知的立体的体积（含旋转体）7/18/202112