定积分在几何学上的应用(V)

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1、6.2定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积二、体积三、平面曲线的弧长一、平面图形的面积1、直角坐标情形我们将给出在直角坐标下求面积的定积分公式。曲边梯形的面积曲边梯形的面积直角坐标系情形解两曲线的交点面积元素选为积分变量解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？解两曲线的交点选为积分变量如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．面积元素曲边扇形的面积2.极坐标系情形解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积解利用对称性知旋转体就是由一个平面图形饶这平

2、面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台1.旋转体的体积xyo旋转体的体积为解直线方程为解解如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积2.平行截面面积为已知的立体的体积切片法解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积三、平面曲线的弧长平面曲线弧长的概念并称该曲线弧是可求长的。定理:光滑曲线弧是可求长的。弧长元素弧长直角坐标表示的平面曲线的弧长解所求弧长为曲线弧为弧长参数方程表示的平面曲线的弧长解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分

3、的弧长证根据椭圆的对称性知故原结论成立.曲线弧为弧长极坐标方程表示的平面曲线的弧长解解微元法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）四、小结旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周绕轴旋转一周平面曲线弧长的概念直角坐标系下参数方程情形下极坐标系下弧微分的概念求弧长的公式作业P2842（2，4），3，4，6，8，10，12，P28515（1，4），17，18，21，25