定积分在几何学上的应用(III)

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1、究竟哪些量可用定积分来计算呢.曲边梯形的面积----定积分的元素法定积分的定义特点:(1)所求量I与[a,b]有关;(2)I在[a,b]上具有可加性.第一节定积分的微元法(元素法）第六章定积分的应用1积分式四步曲:“分割、关键在于如何写出方法简化步骤被积表达式.定积分的元素法---微元。近似、求和、取极限”,上任取一小区间在],d,[],[xxxba+)1(2一、平面图形的面积启示一般曲线围成区域的面积？定积分在几何学上的应用回忆的几何意义:定积分第二节定积分的几何应用3求两条曲线及所围区域面积A.(1)定积分在几何学上的应用1.直角坐标系

2、中图形的面积4解两曲线的交点面积元素选为积分变量5解两曲线的交点选为积分变量6(2)由曲线和直线所围区域面积A.面积元素定积分在几何学上的应用7解两曲线的交点选为积分变量8例4解画草图,求两曲线交点坐标解方程组:交点面积元素法一选为积分变量,定积分在几何学上的应用以确定积分限,0=-yx)3,3(9法二选y为积分变量,法三定积分在几何学上的应用xxy22-=0=-yx)3,3(·10定积分在几何学上的应用上连续,与直线曲线所围平面图形面积11例5解两曲线交点:图形关于y轴对称,定积分在几何学上的应用12解两曲线的交点画草图,定积分在几何学上

3、的应用练习.cos积所围成的平面图形的面和xy=xyxxsin2,0===之间由曲线求介于直线p13解曲线的参数方程:由对称性,作变量代换,例6不易积分.定积分在几何学上的应用.12222的面积求椭圆=+byax14解面积练习作变量代换定积分在几何学上的应用)cos1(),sin()(tayttax-=-=旋轮线求摆线.)20(轴所围图形的面积与xtp££.2p=Þt15面积元素2.极坐标下平面图形的面积所围曲边扇形面积A.定积分在几何学上的应用(极坐标方程)平面曲线射线曲边扇形16解由对称性例7求双纽线所围平面图形的面积.定积分在几何学上

4、的应用17解利用对称性：定积分在几何学上的应用18解求交点由对称性2例9定积分在几何学上的应用.cos的公共部分的面积圆盘q£r所围图形与求心形线qcos1-=r19练习解利用对称性：定积分在几何学上的应用.所围公共部分面积和双纽线求q2cos212==rr20答案定积分在几何学上的应用所围成的面积最小.练习21圆柱圆锥圆台二、体积旋转体这直线叫做旋转轴．由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．1.旋转体的体积定积分在几何学上的应用22旋转体的体积采用元素法连续曲线直线及x轴所围曲边梯形绕x轴旋转一周，旋转体体积？积分变量x,为

5、底，小曲边梯形绕x轴旋转成薄片体积元素(1)定积分在几何学上的应用23解体积元素例1取积分变量为x,oxy定积分在几何学上的应用24连续曲线及y轴所围曲边梯形绕y轴旋转一周,旋转体体积？(2)直线体积元素旋转体的体积定积分在几何学上的应用25解体积元素定积分在几何学上的应用求星形线绕y轴旋转例2构成旋转体的体积.对称性)0(323232>=+aayx参数方程用换元法tttaydcossin3d2=26解例3摆线与x轴所围图形分别绕x轴、y轴旋转，体积？绕x轴旋转的旋转体体积变量代换定积分在几何学上的应用27练习解两曲线交点：定积分在几何学上

6、的应用28解oxyR•例4定积分在几何学上的应用).(rRR³距离为设圆心到直线的旋转成的圆环体的体积.条直线的圆绕同平面内圆外一求半径为r对称性四分之一圆面积292.平行截面面积为已知的立体的体积立体体积表示过点x且垂直于x轴的截面面积,为x的已知连续函数.采用元素法体积元素定积分在几何学上的应用30解底圆方程例5一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角计算这平面截圆柱体所得立体的体积.垂直于x轴的截面为直角三角形.底高截面面积立体体积定积分在几何学上的应用ò=V选取积分变量x.31作垂直于y轴的截面----长宽矩形截面面积定

7、积分在几何学上的应用选择y作积分变量?截面面积函数?思考),(yx32解底圆方程:截面面积立体体积垂直于x轴的截面为等腰三角形例6定积分在几何学上的应用求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.33定积分在几何学上的应用练习(1)D1绕x轴旋转,体积V1;D2绕y轴旋转,体积V2;(2)问当a为何值时,V1+V2取得最大值?解(1)(2)(唯一驻点)34过原点作y=lnx的切线,与y=lnx及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A;(2)D绕x=e旋转一周,旋转体体积V?解设切点的横坐标:切线方程切线过原点

8、第六章定积分应用习题课练习35定积分在几何学上的应用思考题1解36解定积分在几何学上的应用思考题237证分析存在零点.辅助函数第六章定积分应用习题课零点定理思考题338