定积分在几何学上的应用

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1、一、平面图形的面积二、体积§6.2定积分在几何学上的应用三、平面曲线的弧长上页下页铃结束返回首页[f上(x)f下(x)]dx,它也就是面积元素.一、平面图形的面积设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成.因此平面图形的面积为在点x处面积增量的近似值为1.直角坐标情形下页讨论：由左右两条曲线xj左(y)与xj右(y)及上下两条直线yd与yc所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？提示：面积为面积元素为[j右(y)j左(y)]dy,下页例1计算抛物线y2x与yx2所围成的图形的面积.解(2)确定在x轴上的投影

2、区间:(4)计算积分[0,1];(1)画图;下页例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积.(2)确定在y轴上的投影区间:(4)计算积分(3)确定左右曲线:[-2,4].解(1)画图;下页例3因为椭圆的参数方程为xacost,ybsint,所以解椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍.于是ydx,椭圆在第一象限部分的面积元素为下页曲边扇形曲边扇形的面积元素曲边扇形是由曲线()及射线,所围成的图形.曲边扇形的面积2.极坐标情形下页例4计算阿基米德螺线a(a>0)上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解例5计算

3、心形线a(1cos)(a>0)所围成的图形的面积.解首页曲边扇形的面积：二、体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.下页1.旋转体的体积旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体.下页二、体积1.旋转体的体积旋转体的体积元素考虑旋转体内点x处垂直于x轴的厚度为dx的切片,用圆柱体的体积[f(x)]2dx作为切片体积的近似值,旋转体的体积于是体积元素为dV[f(x)]2dx.例6连接坐标原点O及点P(h,r)的直线、直线xh及x轴围成一个直角三角形

4、.将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体.计算这圆锥体的体积.旋转体的体积：解下页解轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体.旋转椭球体的体积为下页旋转体的体积：例7计算由椭圆所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积.例8计算由摆线xa(tsint),ya(1cost)的一拱,直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为下页例8计算由摆线xa(tsint),ya(1cost)的一拱,直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.解下页设曲线左半边为x=x1(y),右

5、半边为x=x2(y).所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积为63a3.设立体在x轴上的投影区间为[a,b],立体内垂直于x轴的截面面积为A(x).立体的体积元素为立体的体积为下页2.平行截面面积为已知的立体的体积A(x)dx.A(x)截面面积为A(x)的立体体积：例9一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角.计算这平面截圆柱所得立体的体积.建立坐标系如图,则底圆的方程为x2y2R2.所求立体的体积为解下页立体中过点x且垂直于x轴的截面为直角三角形,其面积为例10求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.建立坐标系

6、如图,则底圆的方程为x2y2R2.于是所求正劈锥体的体积为截面面积为A(x)的立体体积：解首页立体中过点x且垂直于x轴的截面面积为三、平面曲线的弧长设曲线弧由直角坐标方程yf(x)(axb)给出,其中f(x)在区间[a,b]上具有一阶连续导数.现在来计算这曲线弧的长度.在曲率一节中,我们已经知道弧微分的表达式为这也就是弧长元素.因此,曲线弧的长度为下页直角坐标情形例11长度.因此,所求弧长为解曲线yf(x)(axb)的弧长：下页解因此,所求弧长为曲线yf(x)(axb)的弧长：例12弧的长度.下页设曲线弧由参数方程x(t)、y(t)(

7、t)给出,其中(t)、(t)在[,]上具有连续导数.于是曲线弧的长为下页曲线yf(x)(axb)的弧长：参数方程情形曲线x(t)、y(t)(t)的弧长：例13求摆线xa(qsinq),ya(1cosq)的一拱(02)的长度.解于是所求弧长为曲线yf(x)(axb)的弧长：弧长元素为下页设曲线弧由极坐标方程()()给出,其中()在[,]上具有连续导数.因为x(q)cosq,y(q)sinq(),所以弧长元素为曲线弧的长为下页极坐标情形曲线yf(x)(a