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1、用积分不等式计算一类定积分的值第24卷第5期2010年9月湖南工业大学JournalofHunanUniversityofTechnologyVol-24NO.5Sep.2010用积分不等式计算一类定积分的值李平乐(娄底职业技术学院机电工程系,湖南娄底417000)摘要:对一类定积分dx~_4以计算进行了研究,给出了2个积分不等式.以此,可近似估算出积分的值,并能确定其误差的大小.通过将积分区间细分,可进一步提高估算值的精确度,这为计算机编程提供了数学模型.关键词:积分不等式;估算;误差中图分类号:O172.2文献标志码:A文章编号:1673—9833(2010)05—0037—05Calcu
2、lationofaTypeofDefiniteIntegrationValuewithIntegralInequalitiesLiPingle(DepartmentofMechanicalandElectricalEngineering,LoudiVocationalandTechnicalcollege,LoudiHunan417000,China)Abstract:studiestherdppr.ximatecomputati.n.fadefiniteintegration.bCOSX?andpmVidestw.newinequalities.Thiscanapproximatelycom
3、putethevalueofintegrationanddeterminetheintegralerror.Bysubdividingtheintegrationinterval,canimprovetheaccuracyofcomputationsfurther,anditprovidesmathematicalmodelsforcomputerprogramming.Keywords:integralinequalities;computation;error0引言计算定积分近似值的传统方法有:矩形法,梯形法,抛物线法等].它们存在共同的缺点:不能判断其近似值是大于精确值还是小于精确值,也
4、不能估算出近似值偏离精确值的程度.虽然有些不等式可用来估算定积分的值,但估算精度不高.文献[3-101对一些定积分的近似计算作了探讨,给出了一些较好的计算方法.在此基础上,本文给出一类定积分的2个不等式,并给出估算定积分的值的方法.当精度要求不高时,利用计算器手工计算即可;当精度要求较高时,可先将积分区间细分并建立计算的数学模型,再根据数学模型编程,利用计算机进行数值计算.这样,工程设计中一些很难计算的定积分,特别是被积函数的原函数不能用初等函数表示的定积分的近似计算,变得较容易;还可利用计算机的强大功能,将近似计算的精确度极大地提高.1主要结论定理1当XE[n,6】>0),且X是第一,
5、四象限的角时,函数/()=cosz~,CO_SX>0,且下列积分不等式成立.收稿日期:2010—07—08通信作者:李平乐(1955-),男.湖南涟源人,娄底职业技术学院高级讲师,主要研究方向为积分近似计算及误差确定在工程设计中的应用,E—mail:xielichun188@163.tom38湖南lT业大学2010焦<<证明1)先证式(1)右半部分.当是第一象限的角时,有:COSsin':bx~]l-sin2xdx.由文献【3】得:季<bX"bX将式(3)两边平方,并整理得:bxCOSX<出一r4由文献【4】得:r<)r将式(5)两边平方,并整理得:,将式(
6、6)代入式(4),并整理得f三<Jafdr<J"SIn'x~-bXCOSX.卣文献【5]得:bsin.2x出.通过求定积分,得:fdr=acota—bcotb+lnJsin'xCOSsinXCOS=SIlla一sinD出=b-a—Jbsin2zx.口D"由文献【6]得:f三<JI.toCOS2xdr.综合式(8)一(12)整理得:当是第四象限的角时,证法与是第一象限的角类似.式(1)右端证毕?2)再证式(1)左半部分.当是第一象限的角时,有:XS1nCOS2X出=J.bXX/1--C2OS2XdrC0S.0由文献【3】得:譬出<将式(14)两边平方,并整理得:,f,/(
7、13)由文献【4】得:CoS2dr<COS4将式(16)两边平方,并整理得:COS4>COS将式(17)代入式(15),dr——,f/(),/并整理得:COS'(1).(15)6一口n—n.一.—X—∞r/,●●●●●●,第5期李平乐用积分不等式计算一类定积分的值39<fhxsinx出1]/…由文献[5】得:.bCOS2X>()/COS2X,(19)通过求积分,得:出an
