定积分与定积分的近似计算

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1、第六讲定积分与定积分的近似计算实验目的１．通过本实验加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法.２．学习并掌握用matlab求不定积分、定积分、二重积分、曲线积分的方法.３．学习matlab命令sum、symsum与int.4.了解定积分近似计算的矩形法、梯形法。（***）实验内容1．学习matlab命令（１）求和命令sum调用格式.sum(x),给出向量x的各个元素的累加和,如果x是矩阵,则sum(x)是一个元素为x的每列列和的行向量.例4.1.x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10];sum(x)ans=55例4.2.x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9]x

2、=123456789sum(x)ans=121518（２）求和命令symsum调用格式.symsum(s,n),求symsum(s,k,m,n),求当x的元素很有规律,比如为表达式是的数列时,可用symsum求得x的各项和,即symsum=symsum例4.3.symsknsymsum(k,1,10)ans=55symsum(k^2,k,1,n)ans=1/3*(n+1)^3-1/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6（３）matlab积分命令int调用格式int(函数)计算不定积分int(函数,变量名)计算不定积分int(函数)计算定积分int(函数变量名)计算定积分１．计算不定积

3、分例4.4.计算解:输入命令:int(x^2*log(x))可得结果:ans=1/3*x^3*log(x)-1/9*x^3注意设置符号变量.例4.5.计算下列不定积分:1.2.3.解:首先建立函数向量.symsxsymsarealy=[sqrt(a^2-x^2),(x-1)/(3*x-1)^(1/3),x^2*asin(x)];然后对y积分可得对y的每个分量积分的结果.int(y,x)ans=[1/2*x*(a^2-x^2)^(1/2)+1/2*a^2*asin((1/a^2)^(1/2)*x),-1/3*(3*x-1)^(2/3)+1/15*(3*x-1)^(5/3),1/3*x^

4、3*asin(x)+1/9*x^2*(1-x^2)^(1/2)+2/9*(1-x^2)^(1/2)]３．定积分的概念.定积分是一个和的极限.取,积分区间为,等距划分为20个子区间.x=linspace(0,1,21);选取每个子区间的端点,并计算端点处的函数值.y=exp(x);取区间的左端点乘以区间长度全部加起来.y1=y(1:20);s1=sum(y1)/20s1=1.6757s1可作为的近似值.若选取右端点:y2=y(2:21);s2=sum(y2)/20s2=1.7616s2也可以作为的近似值.下面我们画出图象.plot(x,y);holdonfori=1:20fill([x

5、(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],’b’)end如果选取右端点,则可画出图象.fori=1:20;fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i+1),y(i+1),0],’b’)holdonendplot(x,y,’r’)在上边的语句中,for…end是循环语句,执行语句体内的命令20次,fill命令可以填充多边形,在本例中,用的是兰色(blue)填充.从图上看,当分点逐渐增多时,的值越来越小,读者可试取50个子区间看一看结果怎样.下面按等分区间计算symskns=symsum(e

6、xp(k/n)/n,k,1,n);limit(s,n,inf)得结果ans=exp(1)-1４．计算定积分和广义积分.例4.6.计算.解:输入命令:int(exp(x),0,1)得结果ans=exp(1)-1.这与我们上面的运算结果是一致的.例4.7.计算解:输入命令:int(abs(x-1),0,2)得结果ans=1.本例用mathematica软件不能直接求解.例4.8.判别广义积分、与的敛散性,收敛时计算积分值.解:对第一个积分输入命令:symspreal;int(1/x^p,x,1,inf)得结果ans=limit(-1/(p-1)*x^(-p+1)+1/(p-1),x=in

7、f).由结果看出当时,x^(-p+1)为无穷,当时,ans=1/(p-1),这与课本例题是一致的.对第二个积分输入命令:int(1/(2*pi)^(1/2)*exp(-x^2/2),-inf,inf)得结果:ans=7186705221432913/18014398509481984*2^(1/2)*pi^(1/2)由输出结果看出这两个积分收敛.对后一个积分输入命令:int(1/(1-x)^2,0,2)结果得ans=inf.说明这个积分是无穷大不收敛.例4