定积分近似计算

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1、数学实验报告实验序号：4日期：2012年12月13日实验名称定积分的近似计算问题背景描述：利用牛顿—莱布尼兹公式虽然可以精确地计算定积分的值，但它仅适用于被积函数的原函数能用初等函数表达出来的情形．如果这点办不到或者不容易办到，这就有必要考虑近似计算的方法．在定积分的很多应用问题中，被积函数甚至没有解析表达式，可能只是一条实验记录曲线，或者是一组离散的采样值，这时只能应用近似方法去计算相应的定积分．实验目的：本实验将主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法、抛物线法。对于定积分的近似数值计算，Matlab有专门函数可用。实验原理与数学模型：1． 矩形法根据定积分的定义，每一

2、个积分和都可以看作是定积分的一个近似值，即在几何意义上，这是用一系列小矩形面积近似小曲边梯形的结果，所以把这个近似计算方法称为矩形法．不过，只有当积分区间被分割得很细时，矩形法才有一定的精确度．针对不同的取法，计算结果会有不同。（1）左点法：对等分区间，在区间上取左端点，即取。（2）右点法：同（1）中划分区间，在区间上取右端点，即取。（3）中点法：同（1）中划分区间，在区间上取中点，即取。2． 梯形法等分区间，相应函数值为（）．曲线上相应的点为（）将曲线的每一段弧用过点，的弦（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形成为真正的梯形，其面积为，．于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积

3、的近似值，，即，称此式为梯形公式。 3． 抛物线法将积分区间作等分，分点依次为，，对应函数值为（），曲线上相应点为（）．现把区间上的曲线段用通过三点，，的抛物线来近似代替，然后求函数从到的定积分：由于，代入上式整理后得同样也有……将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：，即这就是抛物线法公式，也称为辛卜生（Simpson）公式． 实验所用软件及版本：Matlab7.0主要内容（要点）：1． 分别用梯形法与抛物线法，计算，取．并尝试直接使用函数trapz()、quad()进行计算求解，比较结果的差异．2． 试计算定积分．（注意：可以运用trapz()、quad()或附录程序求

4、解吗？为什么？）3． 学习fulu2sum.m的程序设计方法，尝试用函数sum改写附录1和附录3的程序，避免for循环。实验过程记录（含基本步骤、主要程序清单及异常情况记录等）：1：梯形法formatlongn=120;a=1;b=2;symsxfxfx=1/x;i=1:n;xj=a+(i-1)*(b-a)/n;%所有左点的数组xi=a+i*(b-a)/n;%所有右点的数组fxj=subs(fx,'x',xj);%所有左点值fxi=subs(fx,'x',xi);%所有右点值f=(fxi+fxj)/2*(b-a)/n;%梯形面积inum=sum(f)%加和梯形面积求解integra

5、te=int(fx,1,2);integrate=double(integrate)fprintf('Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:%g/n/n',...abs((inum-integrate)/integrate))【调试结果】inum=0.69315152080005integrate=0.69314718055995Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:6.26164e-006/n/n抛物线法：%抛物线法formatlongn=120;a=1;b=2;i

6、num=0;symsxfxfx=1/x;fori=1:nxj=a+(i-1)*(b-a)/n;%左点xi=a+i*(b-a)/n;%右点xk=(xi+xj)/2;%中点fxj=subs(fx,'x',xj);fxi=subs(fx,'x',xi);fxk=subs(fx,'x',xk);inum=inum+(fxj+4*fxk+fxi)*(b-a)/(6*n);endinumintegrate=int(fx,1,2);integrate=double(integrate);fprintf('Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabou

7、t:%g/n/n',...abs((inum-integrate)/integrate))【调试结果】inum=0.69314718056936Therelativeerrorbetweeninumandreal-valueisabout:1.35886e-011/n/n>>使用函数trapz()x=1:1/120:2;y=1./x;trapz(x,y)【调试结果】ans=0.69315152080005使用函数quad()quad('1./x',1,2)【调试结果】