定积分的近似计算2

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1、定积分的近似计算虽然牛顿——莱布尼兹公式解决了定积分的计算问题，但它的使用是有一定局限性的。对于被积分中的不能用初等函数表达的情形或其原函数虽能用初等函数表达但很复杂的情形，我们就有必要考虑近似计算的方法。定积分的近似计算的基本思想是根据定积分的几何意义找出求曲边梯形面积的近似方法。下面介绍两种常用的方法梯形法及抛物线法。一梯形法将积分区间作等分，分点依次为相应的函数为曲线上相应的点为将曲线的每一段弧用过点（线性函数）来代替，这使得每个上的曲边梯形形成了真正的梯形（图11——25），其面积为于是各个小梯形面积之和就是曲边梯形面积的近似值，即

2、亦即（2）称此式为梯形法公式。在实际应用中，我们还需要知道用这个近似值来代替所求积分时所产生的误差，从而有其中二抛物线法由梯形法求近似值，当为凹曲线时，它就偏小；当为凸曲线时，它就偏大。如果每段改用与它凸性相接近的抛物线来近似，就可减少上述缺点。下面介绍抛物线法。将区间作等分（图）分点依次为对应的函数值为曲线上相应的点为现把区间上的曲线段用通过三点的抛物线来近似代替，然后求函数从到的定积分：由于，将它代入上式整理后可得同样也有………………………………………………..将这个积分相加即得原来所要计算的定积分的近似值：即这就是抛物线法公式，也就是

3、辛卜生公式。也有其中可见越大，近似计算越准确。一般说来，将积分区间作同样数目等份的情况下，抛物线形公式比梯形公式更精确一些。1、插值型求积公式：，其中余项，至少具有次代数精度。2、牛顿—柯特斯公式（等距节点）：，其中当时，==，求积公式即为梯形公式。当时，=，，，求积公式变为辛普森(Simpson)公式，即当时，计算不稳定，此时一般不用该公式。阶的Newton-Cotes公式至少具有次的代数精度；当为偶数时，至少有次代数精度。1、复化梯形公式：=，，2、复化辛普森公式：=，3、龙贝格求积公式：表示二分次后求得的梯形值，表示序列的次加速值。，

4、通过递推公式，计算。按公式计算加速值，直到，积分值即为。4、高斯求积公式：取，对，使成立，解出及，具有次代数精度。5、高斯-勒让德求积公式：在高斯求积公式中，取权函数，区间为，即。余项，勒让德多项式的零点就是求积公式的高斯点。勒让德多项式：，，两点高斯-勒让德求积公式的形式是：三点高斯-勒让德求积公式的形式是：10、高斯-切比雪夫求积公式：，，且取权函数，即，此时高斯点是次切比雪夫多项式的零点，即为，，系数。使用时将个节点公式改为个节点，于是高斯-切比雪夫求积公式写成：，余项，