定积分的计算与广义积分

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1、高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学（一）第七讲定积分的计算由牛顿——莱布尼兹公式，可以通过不定积分来计算定积分.一般是将定积分的计算截然分成两步：先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿——莱布尼兹公式代值计算出定积分.这种作法有点麻烦，我们希望将不定积分的计算方法与牛顿——莱布尼兹公式有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法——定积分的换元法和定积分的分部积分法.二、定积分的分部积分法不定积分一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法第5节定积分的换元法第6节定积分的分部积分法第五章例1解例1解有什么想法没有？

2、就是说，计算定积分时可以使用换元法.换元时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到原来的变量，直接往下计算并运用牛顿——莱布尼兹公式便可得到定积分的结果.一、定积分的换元法定理1)当<,即区间换为定理1仍成立.2)必需注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限说明:4)换元的规则、情况同不定积分.例2解例3解例4解例5证例6证例7证二、定积分的分部积分法定理证明与不定积分的情形类似.可改写为:什么情况下运用分部积分法呢？定积分与不定积分的情形相同！例8解例9解例10解例11解第八节广义积分常义积分积

3、分限有限被积函数有界推广反常积分(广义积分)我们前面讨论的积分是在有限区间上的有界函数的积分，利用的是牛顿公式，但在科学技术和工程中，往往会遇见不满足牛顿公式的积分问题，比如需要计算无穷区间上的积分或者计算不满足有界条件的函数的积分，有时还需计算不满足有界条件的函数在无穷区间上的积分.这就需要我们将定积分的概念及其计算方法进行推广.我们将运用极限的方法来完成这个工作.牛顿公式：记作成立的条件：1：f(x)在[a,b]上是连续的（有界的）2：f(x)的原函数F(X)存在3：a,b是有限常量如果这些条件不满足的话，怎么处理呢？一、无穷积分——无穷区间上

4、的广义积分1.无穷积分的概念牛顿公式：若a,b是不有限常量，即：都称为无穷积分2.无穷积分的定义：例1解这样就将无穷积分的计算与定积分的计算联系起来了.例2解例3解例4解例5解综上所述，4.无穷积分的基本运算性质其它类型的无穷积分的情形类似于此.二、瑕积分1.瑕积分的概念——无界函数的广义积分(1)瑕点的概念(2)瑕积分的概念类似地，可定义与无穷积分的情形类似，瑕积分也有下列运算形式：这样就将瑕积分的计算与定积分的计算联系起来了.2.瑕积分基本运算性质例6解例7解例8解有问题没有？例8解